Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54970 / 43024
↖ ↑ ↗
← N 52.456010°
W 29.020386°		 ← 186.12 m → N 52.456010°
W 29.017639°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
N 52.454335°
W 29.020386°		 ← 186.12 m →
34 648 m²		 N 52.454335°
W 29.017639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419391632080078 y=0.328250885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419391632080078 × 217)
    floor (0.419391632080078 × 131072)
    floor (54970.5)     		tx = 54970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328250885009766 × 217)
    floor (0.328250885009766 × 131072)
    floor (43024.5)     		ty = 43024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54970 / 43024 ti = "17/54970/43024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54970/43024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54970 ÷ 217
    54970 ÷ 131072     		x = 0.419387817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43024 ÷ 217
    43024 ÷ 131072     		y = 0.3282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419387817382812 × 2 - 1) × π
    -0.161224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50650128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3282470703125 × 2 - 1) × π
    0.343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0791554842467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50650128} λ = -0.50650128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0791554842467))-π/2
    2×atan(2.94219377258352)-π/2
    2×1.24316320156738-π/2
    2.48632640313475-1.57079632675     		φ = 0.91553008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50650128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.020386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91553008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.456010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54970 KachelY 43024 -0.50650128 0.91553008 -29.020386 52.456010
    Oben rechts KachelX + 1 54971 KachelY 43024 -0.50645334 0.91553008 -29.017639 52.456010
    Unten links KachelX 54970 KachelY + 1 43025 -0.50650128 0.91550086 -29.020386 52.454335
    Unten rechts KachelX + 1 54971 KachelY + 1 43025 -0.50645334 0.91550086 -29.017639 52.454335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91553008-0.91550086) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dl = 186.160620000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91553008-0.91550086) × R
    2.9220000000052e-05 × 6371000     		dr = 186.160620000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50650128--0.50645334) × cos(0.91553008) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.609370368205133 × 6371000     		do = 186.117395643434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50650128--0.50645334) × cos(0.91550086) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.609393536065529 × 6371000     		du = 186.12447170434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91553008)-sin(0.91550086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609370368205133-0.609393536065529)×R²
    abs(-0.50645334--0.50650128)×2.31678603965779e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31678603965779e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31678603965779e-05×40589641000000     		ar = 34648.3884100902m²