Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54967 / 14303
↖ ↑ ↗
← N 80.194162°
W 29.028625°		 ← 52.01 m → N 80.194162°
W 29.025879°		 →
↑
52.05 m
↓
↑
52.05 m
↓
N 80.193694°
W 29.028625°		 ← 52.01 m →
2 707 m²		 N 80.193694°
W 29.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419368743896484 y=0.109127044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419368743896484 × 217)
    floor (0.419368743896484 × 131072)
    floor (54967.5)     		tx = 54967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109127044677734 × 217)
    floor (0.109127044677734 × 131072)
    floor (14303.5)     		ty = 14303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54967 / 14303 ti = "17/54967/14303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54967/14303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54967 ÷ 217
    54967 ÷ 131072     		x = 0.419364929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14303 ÷ 217
    14303 ÷ 131072     		y = 0.109123229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419364929199219 × 2 - 1) × π
    -0.161270141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50664509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109123229980469 × 2 - 1) × π
    0.781753540039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.45595117823434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50664509} λ = -0.50664509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45595117823434))-π/2
    2×atan(11.657516653147)-π/2
    2×1.48522424682287-π/2
    2.97044849364573-1.57079632675     		φ = 1.39965217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50664509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.028625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39965217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.194162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54967 KachelY 14303 -0.50664509 1.39965217 -29.028625 80.194162
    Oben rechts KachelX + 1 54968 KachelY 14303 -0.50659716 1.39965217 -29.025879 80.194162
    Unten links KachelX 54967 KachelY + 1 14304 -0.50664509 1.39964400 -29.028625 80.193694
    Unten rechts KachelX + 1 54968 KachelY + 1 14304 -0.50659716 1.39964400 -29.025879 80.193694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39965217-1.39964400) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dl = 52.0510699991272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39965217-1.39964400) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dr = 52.0510699991272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50664509--0.50659716) × cos(1.39965217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170309901591114 × 6371000     		do = 52.0061772789945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50664509--0.50659716) × cos(1.39964400) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170317952226229 × 6371000     		du = 52.008635637276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39965217)-sin(1.39964400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170309901591114-0.170317952226229)×R²
    abs(-0.50659716--0.50664509)×8.05063511505333e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.05063511505333e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.05063511505333e-06×40589641000000     		ar = 2707.0411540645m²