Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54964 / 42932
↖ ↑ ↗
← N 52.609719°
W 29.036865°		 ← 185.43 m → N 52.609719°
W 29.034119°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
N 52.608051°
W 29.036865°		 ← 185.44 m →
34 390 m²		 N 52.608051°
W 29.034119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419345855712891 y=0.327548980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419345855712891 × 217)
    floor (0.419345855712891 × 131072)
    floor (54964.5)     		tx = 54964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327548980712891 × 217)
    floor (0.327548980712891 × 131072)
    floor (42932.5)     		ty = 42932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54964 / 42932 ti = "17/54964/42932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54964/42932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54964 ÷ 217
    54964 ÷ 131072     		x = 0.419342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42932 ÷ 217
    42932 ÷ 131072     		y = 0.327545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.16131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50678890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327545166015625 × 2 - 1) × π
    0.34490966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08356567901175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50678890} λ = -0.50678890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08356567901175))-π/2
    2×atan(2.95519807483237)-π/2
    2×1.24450457435462-π/2
    2.48900914870923-1.57079632675     		φ = 0.91821282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50678890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.036865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91821282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.609719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54964 KachelY 42932 -0.50678890 0.91821282 -29.036865 52.609719
    Oben rechts KachelX + 1 54965 KachelY 42932 -0.50674097 0.91821282 -29.034119 52.609719
    Unten links KachelX 54964 KachelY + 1 42933 -0.50678890 0.91818371 -29.036865 52.608051
    Unten rechts KachelX + 1 54965 KachelY + 1 42933 -0.50674097 0.91818371 -29.034119 52.608051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91821282-0.91818371) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dl = 185.459810000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91821282-0.91818371) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dr = 185.459810000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50678890--0.50674097) × cos(0.91821282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607241071691566 × 6371000     		do = 185.428366351226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50678890--0.50674097) × cos(0.91818371) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607264199842789 × 6371000     		du = 185.435428810433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91821282)-sin(0.91818371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607241071691566-0.607264199842789)×R²
    abs(-0.50674097--0.50678890)×2.31281512221848e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31281512221848e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31281512221848e-05×40589641000000     		ar = 34390.1644956468m²