Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54964 / 14428
↖ ↑ ↗
← N 80.135518°
W 29.036865°		 ← 52.31 m → N 80.135518°
W 29.034119°		 →
↑
52.31 m
↓
↑
52.31 m
↓
N 80.135047°
W 29.036865°		 ← 52.32 m →
2 736 m²		 N 80.135047°
W 29.034119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419345855712891 y=0.110080718994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419345855712891 × 217)
    floor (0.419345855712891 × 131072)
    floor (54964.5)     		tx = 54964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110080718994141 × 217)
    floor (0.110080718994141 × 131072)
    floor (14428.5)     		ty = 14428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54964 / 14428 ti = "17/54964/14428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54964/14428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54964 ÷ 217
    54964 ÷ 131072     		x = 0.419342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14428 ÷ 217
    14428 ÷ 131072     		y = 0.110076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.16131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50678890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110076904296875 × 2 - 1) × π
    0.77984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44995906578183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50678890} λ = -0.50678890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44995906578183))-π/2
    2×atan(11.5878723690192)-π/2
    2×1.48471247946498-π/2
    2.96942495892996-1.57079632675     		φ = 1.39862863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50678890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.036865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39862863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.135518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54964 KachelY 14428 -0.50678890 1.39862863 -29.036865 80.135518
    Oben rechts KachelX + 1 54965 KachelY 14428 -0.50674097 1.39862863 -29.034119 80.135518
    Unten links KachelX 54964 KachelY + 1 14429 -0.50678890 1.39862042 -29.036865 80.135047
    Unten rechts KachelX + 1 54965 KachelY + 1 14429 -0.50674097 1.39862042 -29.034119 80.135047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39862863-1.39862042) × R
    8.20999999984195e-06 × 6371000     		dl = 52.3059099989931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39862863-1.39862042) × R
    8.20999999984195e-06 × 6371000     		dr = 52.3059099989931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50678890--0.50674097) × cos(1.39862863) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171318398848053 × 6371000     		do = 52.3141340486231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50678890--0.50674097) × cos(1.39862042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171326487463304 × 6371000     		du = 52.316604004596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39862863)-sin(1.39862042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171318398848053-0.171326487463304)×R²
    abs(-0.50674097--0.50678890)×8.0886152508397e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.0886152508397e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.0886152508397e-06×40589641000000     		ar = 2736.40298396941m²