Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54963 / 42931
↖ ↑ ↗
← N 52.611387°
W 29.039612°		 ← 185.46 m → N 52.611387°
W 29.036865°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
N 52.609719°
W 29.039612°		 ← 185.47 m →
34 396 m²		 N 52.609719°
W 29.036865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419338226318359 y=0.327541351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419338226318359 × 217)
    floor (0.419338226318359 × 131072)
    floor (54963.5)     		tx = 54963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327541351318359 × 217)
    floor (0.327541351318359 × 131072)
    floor (42931.5)     		ty = 42931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54963 / 42931 ti = "17/54963/42931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54963/42931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54963 ÷ 217
    54963 ÷ 131072     		x = 0.419334411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42931 ÷ 217
    42931 ÷ 131072     		y = 0.327537536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419334411621094 × 2 - 1) × π
    -0.161331176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.50683684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327537536621094 × 2 - 1) × π
    0.344924926757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.08361361591137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50683684} λ = -0.50683684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08361361591137))-π/2
    2×atan(2.95533974126134)-π/2
    2×1.24451912870456-π/2
    2.48903825740912-1.57079632675     		φ = 0.91824193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50683684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.039612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91824193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.611387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54963 KachelY 42931 -0.50683684 0.91824193 -29.039612 52.611387
    Oben rechts KachelX + 1 54964 KachelY 42931 -0.50678890 0.91824193 -29.036865 52.611387
    Unten links KachelX 54963 KachelY + 1 42932 -0.50683684 0.91821282 -29.039612 52.609719
    Unten rechts KachelX + 1 54964 KachelY + 1 42932 -0.50678890 0.91821282 -29.036865 52.609719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91824193-0.91821282) × R
    2.91099999999433e-05 × 6371000     		dl = 185.459809999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91824193-0.91821282) × R
    2.91099999999433e-05 × 6371000     		dr = 185.459809999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50683684--0.50678890) × cos(0.91824193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607217943025773 × 6371000     		do = 185.459989589803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50683684--0.50678890) × cos(0.91821282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607241071691566 × 6371000     		du = 185.467053679668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91824193)-sin(0.91821282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607217943025773-0.607241071691566)×R²
    abs(-0.50678890--0.50683684)×2.31286657933483e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31286657933483e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31286657933483e-05×40589641000000     		ar = 34396.029486627m²