Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54963 / 12977
↖ ↑ ↗
← N 80.795388°
W 29.039612°		 ← 48.86 m → N 80.795388°
W 29.036865°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.794948°
W 29.039612°		 ← 48.86 m →
2 387 m²		 N 80.794948°
W 29.036865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419338226318359 y=0.0990104675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419338226318359 × 217)
    floor (0.419338226318359 × 131072)
    floor (54963.5)     		tx = 54963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990104675292969 × 217)
    floor (0.0990104675292969 × 131072)
    floor (12977.5)     		ty = 12977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54963 / 12977 ti = "17/54963/12977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54963/12977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54963 ÷ 217
    54963 ÷ 131072     		x = 0.419334411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12977 ÷ 217
    12977 ÷ 131072     		y = 0.0990066528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419334411621094 × 2 - 1) × π
    -0.161331176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.50683684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990066528320312 × 2 - 1) × π
    0.801986694335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.51951550713053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50683684} λ = -0.50683684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51951550713053))-π/2
    2×atan(12.422576555584)-π/2
    2×1.49047093319461-π/2
    2.98094186638922-1.57079632675     		φ = 1.41014554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50683684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.039612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41014554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.795388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54963 KachelY 12977 -0.50683684 1.41014554 -29.039612 80.795388
    Oben rechts KachelX + 1 54964 KachelY 12977 -0.50678890 1.41014554 -29.036865 80.795388
    Unten links KachelX 54963 KachelY + 1 12978 -0.50683684 1.41013787 -29.039612 80.794948
    Unten rechts KachelX + 1 54964 KachelY + 1 12978 -0.50678890 1.41013787 -29.036865 80.794948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41014554-1.41013787) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41014554-1.41013787) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50683684--0.50678890) × cos(1.41014554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159960647310981 × 6371000     		do = 48.8560990758033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50683684--0.50678890) × cos(1.41013787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159968218542693 × 6371000     		du = 48.8584115248517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41014554)-sin(1.41013787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159960647310981-0.159968218542693)×R²
    abs(-0.50678890--0.50683684)×7.5712317124943e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.5712317124943e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5712317124943e-06×40589641000000     		ar = 2387.43762901457m²