Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54962 / 16526
↖ ↑ ↗
← N 79.097816°
W 29.042359°		 ← 57.77 m → N 79.097816°
W 29.039612°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.097296°
W 29.042359°		 ← 57.77 m →
3 338 m²		 N 79.097296°
W 29.039612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419330596923828 y=0.126087188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419330596923828 × 217)
    floor (0.419330596923828 × 131072)
    floor (54962.5)     		tx = 54962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126087188720703 × 217)
    floor (0.126087188720703 × 131072)
    floor (16526.5)     		ty = 16526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54962 / 16526 ti = "17/54962/16526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54962/16526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54962 ÷ 217
    54962 ÷ 131072     		x = 0.419326782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16526 ÷ 217
    16526 ÷ 131072     		y = 0.126083374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419326782226562 × 2 - 1) × π
    -0.161346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50688478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126083374023438 × 2 - 1) × π
    0.747833251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34938745037895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50688478} λ = -0.50688478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34938745037895))-π/2
    2×atan(10.4791487597468)-π/2
    2×1.47565682399557-π/2
    2.95131364799115-1.57079632675     		φ = 1.38051732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50688478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.042359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38051732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.097816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54962 KachelY 16526 -0.50688478 1.38051732 -29.042359 79.097816
    Oben rechts KachelX + 1 54963 KachelY 16526 -0.50683684 1.38051732 -29.039612 79.097816
    Unten links KachelX 54962 KachelY + 1 16527 -0.50688478 1.38050825 -29.042359 79.097296
    Unten rechts KachelX + 1 54963 KachelY + 1 16527 -0.50683684 1.38050825 -29.039612 79.097296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38051732-1.38050825) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dl = 57.7849699996458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38051732-1.38050825) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dr = 57.7849699996458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50688478--0.50683684) × cos(1.38051732) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18913287347632 × 6371000     		do = 57.7660478399274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50688478--0.50683684) × cos(1.38050825) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189141779768682 × 6371000     		du = 57.7687680508625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38051732)-sin(1.38050825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18913287347632-0.189141779768682)×R²
    abs(-0.50683684--0.50688478)×8.90629236144358e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.90629236144358e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.90629236144358e-06×40589641000000     		ar = 3338.08793516746m²