Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54961 / 43037
↖ ↑ ↗
← N 52.434246°
W 29.045105°		 ← 186.17 m → N 52.434246°
W 29.042359°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
N 52.432572°
W 29.045105°		 ← 186.18 m →
34 670 m²		 N 52.432572°
W 29.042359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419322967529297 y=0.328350067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419322967529297 × 217)
    floor (0.419322967529297 × 131072)
    floor (54961.5)     		tx = 54961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328350067138672 × 217)
    floor (0.328350067138672 × 131072)
    floor (43037.5)     		ty = 43037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54961 / 43037 ti = "17/54961/43037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54961/43037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54961 ÷ 217
    54961 ÷ 131072     		x = 0.419319152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43037 ÷ 217
    43037 ÷ 131072     		y = 0.328346252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419319152832031 × 2 - 1) × π
    -0.161361694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.50693271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328346252441406 × 2 - 1) × π
    0.343307495117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.07853230455164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50693271} λ = -0.50693271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07853230455164))-π/2
    2×atan(2.94036082835165)-π/2
    2×1.24297328103394-π/2
    2.48594656206788-1.57079632675     		φ = 0.91515024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50693271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.045105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91515024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.434246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54961 KachelY 43037 -0.50693271 0.91515024 -29.045105 52.434246
    Oben rechts KachelX + 1 54962 KachelY 43037 -0.50688478 0.91515024 -29.042359 52.434246
    Unten links KachelX 54961 KachelY + 1 43038 -0.50693271 0.91512101 -29.045105 52.432572
    Unten rechts KachelX + 1 54962 KachelY + 1 43038 -0.50688478 0.91512101 -29.042359 52.432572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91515024-0.91512101) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dl = 186.224329999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91515024-0.91512101) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dr = 186.224329999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50693271--0.50688478) × cos(0.91515024) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.609671493947732 × 6371000     		do = 186.170525024695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50693271--0.50688478) × cos(0.91512101) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.609694662969337 × 6371000     		du = 186.177599964165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91515024)-sin(0.91512101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609671493947732-0.609694662969337)×R²
    abs(-0.50688478--0.50693271)×2.31690216047076e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31690216047076e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31690216047076e-05×40589641000000     		ar = 34670.1400540473m²