Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54961 / 18789
↖ ↑ ↗
← N 77.857456°
W 29.045105°		 ← 64.23 m → N 77.857456°
W 29.042359°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.856879°
W 29.045105°		 ← 64.23 m →
4 125 m²		 N 77.856879°
W 29.042359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419322967529297 y=0.143352508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419322967529297 × 217)
    floor (0.419322967529297 × 131072)
    floor (54961.5)     		tx = 54961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143352508544922 × 217)
    floor (0.143352508544922 × 131072)
    floor (18789.5)     		ty = 18789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54961 / 18789 ti = "17/54961/18789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54961/18789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54961 ÷ 217
    54961 ÷ 131072     		x = 0.419319152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18789 ÷ 217
    18789 ÷ 131072     		y = 0.143348693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419319152832031 × 2 - 1) × π
    -0.161361694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.50693271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143348693847656 × 2 - 1) × π
    0.713302612304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.24090624653876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50693271} λ = -0.50693271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24090624653876))-π/2
    2×atan(9.40184781986564)-π/2
    2×1.46483264316476-π/2
    2.92966528632953-1.57079632675     		φ = 1.35886896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50693271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.045105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35886896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.857456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54961 KachelY 18789 -0.50693271 1.35886896 -29.045105 77.857456
    Oben rechts KachelX + 1 54962 KachelY 18789 -0.50688478 1.35886896 -29.042359 77.857456
    Unten links KachelX 54961 KachelY + 1 18790 -0.50693271 1.35885888 -29.045105 77.856879
    Unten rechts KachelX + 1 54962 KachelY + 1 18790 -0.50688478 1.35885888 -29.042359 77.856879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35886896-1.35885888) × R
    1.00799999998014e-05 × 6371000     		dl = 64.2196799987345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35886896-1.35885888) × R
    1.00799999998014e-05 × 6371000     		dr = 64.2196799987345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50693271--0.50688478) × cos(1.35886896) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.210344535801126 × 6371000     		do = 64.23123445153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50693271--0.50688478) × cos(1.35885888) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.210354390273822 × 6371000     		du = 64.2342436333171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35886896)-sin(1.35885888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210344535801126-0.210354390273822)×R²
    abs(-0.50688478--0.50693271)×9.85447269621909e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.85447269621909e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.85447269621909e-06×40589641000000     		ar = 4125.00594678485m²