Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54961 / 13009
↖ ↑ ↗
← N 80.781318°
W 29.045105°		 ← 48.92 m → N 80.781318°
W 29.042359°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.780878°
W 29.045105°		 ← 48.92 m →
2 394 m²		 N 80.780878°
W 29.042359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419322967529297 y=0.0992546081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419322967529297 × 217)
    floor (0.419322967529297 × 131072)
    floor (54961.5)     		tx = 54961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992546081542969 × 217)
    floor (0.0992546081542969 × 131072)
    floor (13009.5)     		ty = 13009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54961 / 13009 ti = "17/54961/13009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54961/13009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54961 ÷ 217
    54961 ÷ 131072     		x = 0.419319152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13009 ÷ 217
    13009 ÷ 131072     		y = 0.0992507934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419319152832031 × 2 - 1) × π
    -0.161361694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.50693271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0992507934570312 × 2 - 1) × π
    0.801498413085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.51798152634269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50693271} λ = -0.50693271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51798152634269))-π/2
    2×atan(12.4035351701058)-π/2
    2×1.49034815197971-π/2
    2.98069630395942-1.57079632675     		φ = 1.40989998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50693271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.045105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40989998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.781318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54961 KachelY 13009 -0.50693271 1.40989998 -29.045105 80.781318
    Oben rechts KachelX + 1 54962 KachelY 13009 -0.50688478 1.40989998 -29.042359 80.781318
    Unten links KachelX 54961 KachelY + 1 13010 -0.50693271 1.40989230 -29.045105 80.780878
    Unten rechts KachelX + 1 54962 KachelY + 1 13010 -0.50688478 1.40989230 -29.042359 80.780878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40989998-1.40989230) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40989998-1.40989230) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50693271--0.50688478) × cos(1.40989998) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.160203040505928 × 6371000     		do = 48.9199256609791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50693271--0.50688478) × cos(1.40989230) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.160210621306957 × 6371000     		du = 48.9222405497701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40989998)-sin(1.40989230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160203040505928-0.160210621306957)×R²
    abs(-0.50688478--0.50693271)×7.58080102847281e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.58080102847281e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.58080102847281e-06×40589641000000     		ar = 2393.67337333526m²