Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54960 / 18864
↖ ↑ ↗
← N 77.814050°
W 29.047852°		 ← 64.47 m → N 77.814050°
W 29.045105°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.813471°
W 29.047852°		 ← 64.47 m →
4 153 m²		 N 77.813471°
W 29.045105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419315338134766 y=0.143924713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419315338134766 × 217)
    floor (0.419315338134766 × 131072)
    floor (54960.5)     		tx = 54960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143924713134766 × 217)
    floor (0.143924713134766 × 131072)
    floor (18864.5)     		ty = 18864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54960 / 18864 ti = "17/54960/18864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54960/18864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54960 ÷ 217
    54960 ÷ 131072     		x = 0.4193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18864 ÷ 217
    18864 ÷ 131072     		y = 0.1439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50698065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1439208984375 × 2 - 1) × π
    0.712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23731097906726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50698065} λ = -0.50698065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23731097906726))-π/2
    2×atan(9.36810635337034)-π/2
    2×1.46445385546886-π/2
    2.92890771093772-1.57079632675     		φ = 1.35811138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50698065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.047852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35811138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.814050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54960 KachelY 18864 -0.50698065 1.35811138 -29.047852 77.814050
    Oben rechts KachelX + 1 54961 KachelY 18864 -0.50693271 1.35811138 -29.045105 77.814050
    Unten links KachelX 54960 KachelY + 1 18865 -0.50698065 1.35810127 -29.047852 77.813471
    Unten rechts KachelX + 1 54961 KachelY + 1 18865 -0.50693271 1.35810127 -29.045105 77.813471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35811138-1.35810127) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dl = 64.4108100004022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35811138-1.35810127) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dr = 64.4108100004022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50698065--0.50693271) × cos(1.35811138) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211085106273904 × 6371000     		do = 64.4708247867927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50698065--0.50693271) × cos(1.35810127) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211094988461425 × 6371000     		du = 64.4738430612292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35811138)-sin(1.35810127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211085106273904-0.211094988461425)×R²
    abs(-0.50693271--0.50698065)×9.88218752143166e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.88218752143166e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.88218752143166e-06×40589641000000     		ar = 4152.71525058432m²