Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54959 / 42574
↖ ↑ ↗
← N 53.202743°
W 29.050598°		 ← 182.95 m → N 53.202743°
W 29.047852°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 53.201097°
W 29.050598°		 ← 182.95 m →
33 475 m²		 N 53.201097°
W 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419307708740234 y=0.324817657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419307708740234 × 217)
    floor (0.419307708740234 × 131072)
    floor (54959.5)     		tx = 54959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324817657470703 × 217)
    floor (0.324817657470703 × 131072)
    floor (42574.5)     		ty = 42574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54959 / 42574 ti = "17/54959/42574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54959/42574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54959 ÷ 217
    54959 ÷ 131072     		x = 0.419303894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42574 ÷ 217
    42574 ÷ 131072     		y = 0.324813842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419303894042969 × 2 - 1) × π
    -0.161392211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50702859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324813842773438 × 2 - 1) × π
    0.350372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10072708907573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50702859} λ = -0.50702859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10072708907573))-π/2
    2×atan(3.0063511145256)-π/2
    2×1.2496796759675-π/2
    2.49935935193499-1.57079632675     		φ = 0.92856303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50702859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.050598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92856303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.202743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54959 KachelY 42574 -0.50702859 0.92856303 -29.050598 53.202743
    Oben rechts KachelX + 1 54960 KachelY 42574 -0.50698065 0.92856303 -29.047852 53.202743
    Unten links KachelX 54959 KachelY + 1 42575 -0.50702859 0.92853431 -29.050598 53.201097
    Unten rechts KachelX + 1 54960 KachelY + 1 42575 -0.50698065 0.92853431 -29.047852 53.201097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92856303-0.92853431) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92856303-0.92853431) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50702859--0.50698065) × cos(0.92856303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598985268468884 × 6371000     		do = 182.945518871088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50702859--0.50698065) × cos(0.92853431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599008266050313 × 6371000     		du = 182.952542924414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92856303)-sin(0.92853431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598985268468884-0.599008266050313)×R²
    abs(-0.50698065--0.50702859)×2.29975814290961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29975814290961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29975814290961e-05×40589641000000     		ar = 33475.1208847864m²