Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54958 / 42948
↖ ↑ ↗
← N 52.583026°
W 29.053344°		 ← 185.54 m → N 52.583026°
W 29.050598°		 →
↑
185.59 m
↓
↑
185.59 m
↓
N 52.581357°
W 29.053344°		 ← 185.55 m →
34 435 m²		 N 52.581357°
W 29.050598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419300079345703 y=0.327671051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419300079345703 × 217)
    floor (0.419300079345703 × 131072)
    floor (54958.5)     		tx = 54958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327671051025391 × 217)
    floor (0.327671051025391 × 131072)
    floor (42948.5)     		ty = 42948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54958 / 42948 ti = "17/54958/42948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54958/42948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54958 ÷ 217
    54958 ÷ 131072     		x = 0.419296264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42948 ÷ 217
    42948 ÷ 131072     		y = 0.327667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419296264648438 × 2 - 1) × π
    -0.161407470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50707652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327667236328125 × 2 - 1) × π
    0.34466552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08279868861783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50707652} λ = -0.50707652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08279868861783))-π/2
    2×atan(2.95293233530814)-π/2
    2×1.24427162935957-π/2
    2.48854325871914-1.57079632675     		φ = 0.91774693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50707652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.053344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91774693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.583026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54958 KachelY 42948 -0.50707652 0.91774693 -29.053344 52.583026
    Oben rechts KachelX + 1 54959 KachelY 42948 -0.50702859 0.91774693 -29.050598 52.583026
    Unten links KachelX 54958 KachelY + 1 42949 -0.50707652 0.91771780 -29.053344 52.581357
    Unten rechts KachelX + 1 54959 KachelY + 1 42949 -0.50702859 0.91771780 -29.050598 52.581357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91774693-0.91771780) × R
    2.91299999999328e-05 × 6371000     		dl = 185.587229999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91774693-0.91771780) × R
    2.91299999999328e-05 × 6371000     		dr = 185.587229999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50707652--0.50702859) × cos(0.91774693) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607611163599749 × 6371000     		do = 185.541378367595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50707652--0.50702859) × cos(0.91771780) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607634299397205 × 6371000     		du = 185.548443161672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91774693)-sin(0.91771780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607611163599749-0.607634299397205)×R²
    abs(-0.50702859--0.50707652)×2.31357974559421e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31357974559421e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31357974559421e-05×40589641000000     		ar = 34434.7660317711m²