Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54957 / 17505
↖ ↑ ↗
← N 78.577363°
W 29.056091°		 ← 60.49 m → N 78.577363°
W 29.053344°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.576819°
W 29.056091°		 ← 60.49 m →
3 657 m²		 N 78.576819°
W 29.053344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419292449951172 y=0.133556365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419292449951172 × 217)
    floor (0.419292449951172 × 131072)
    floor (54957.5)     		tx = 54957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133556365966797 × 217)
    floor (0.133556365966797 × 131072)
    floor (17505.5)     		ty = 17505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54957 / 17505 ti = "17/54957/17505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54957/17505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54957 ÷ 217
    54957 ÷ 131072     		x = 0.419288635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17505 ÷ 217
    17505 ÷ 131072     		y = 0.133552551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419288635253906 × 2 - 1) × π
    -0.161422729492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50712446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133552551269531 × 2 - 1) × π
    0.732894897460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.30245722565092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50712446} λ = -0.50712446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30245722565092))-π/2
    2×atan(9.99872140831552)-π/2
    2×1.47111501337734-π/2
    2.94223002675468-1.57079632675     		φ = 1.37143370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50712446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.056091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37143370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.577363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54957 KachelY 17505 -0.50712446 1.37143370 -29.056091 78.577363
    Oben rechts KachelX + 1 54958 KachelY 17505 -0.50707652 1.37143370 -29.053344 78.577363
    Unten links KachelX 54957 KachelY + 1 17506 -0.50712446 1.37142421 -29.056091 78.576819
    Unten rechts KachelX + 1 54958 KachelY + 1 17506 -0.50707652 1.37142421 -29.053344 78.576819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37143370-1.37142421) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dl = 60.4607900003593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37143370-1.37142421) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dr = 60.4607900003593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50712446--0.50707652) × cos(1.37143370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198044622307252 × 6371000     		do = 60.4879253211733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50712446--0.50707652) × cos(1.37142421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198053924329954 × 6371000     		du = 60.4907663983406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37143370)-sin(1.37142421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198044622307252-0.198053924329954)×R²
    abs(-0.50707652--0.50712446)×9.30202270194025e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.30202270194025e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.30202270194025e-06×40589641000000     		ar = 3657.23363722435m²