Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54956 / 43188
↖ ↑ ↗
← N 52.180669°
W 29.058838°		 ← 187.28 m → N 52.180669°
W 29.056091°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
N 52.178985°
W 29.058838°		 ← 187.29 m →
35 079 m²		 N 52.178985°
W 29.056091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419284820556641 y=0.329502105712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419284820556641 × 217)
    floor (0.419284820556641 × 131072)
    floor (54956.5)     		tx = 54956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329502105712891 × 217)
    floor (0.329502105712891 × 131072)
    floor (43188.5)     		ty = 43188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54956 / 43188 ti = "17/54956/43188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54956/43188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54956 ÷ 217
    54956 ÷ 131072     		x = 0.419281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43188 ÷ 217
    43188 ÷ 131072     		y = 0.329498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.16143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50717240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329498291015625 × 2 - 1) × π
    0.34100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07129383270901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50717240} λ = -0.50717240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07129383270901))-π/2
    2×atan(2.91915395456312)-π/2
    2×1.24076040099723-π/2
    2.48152080199445-1.57079632675     		φ = 0.91072448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50717240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.058838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91072448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.180669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54956 KachelY 43188 -0.50717240 0.91072448 -29.058838 52.180669
    Oben rechts KachelX + 1 54957 KachelY 43188 -0.50712446 0.91072448 -29.056091 52.180669
    Unten links KachelX 54956 KachelY + 1 43189 -0.50717240 0.91069508 -29.058838 52.178985
    Unten rechts KachelX + 1 54957 KachelY + 1 43189 -0.50712446 0.91069508 -29.056091 52.178985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91072448-0.91069508) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dl = 187.307399999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91072448-0.91069508) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dr = 187.307399999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50717240--0.50712446) × cos(0.91072448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613173608800768 × 6371000     		do = 187.279003216322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50717240--0.50712446) × cos(0.91069508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613196833012226 × 6371000     		du = 187.286096488293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91072448)-sin(0.91069508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613173608800768-0.613196833012226)×R²
    abs(-0.50712446--0.50717240)×2.32242114571735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32242114571735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32242114571735e-05×40589641000000     		ar = 35079.4074805489m²