Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54956 / 43006
↖ ↑ ↗
← N 52.486125°
W 29.058838°		 ← 185.99 m → N 52.486125°
W 29.056091°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
N 52.484453°
W 29.058838°		 ← 186 m →
34 589 m²		 N 52.484453°
W 29.056091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419284820556641 y=0.328113555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419284820556641 × 217)
    floor (0.419284820556641 × 131072)
    floor (54956.5)     		tx = 54956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328113555908203 × 217)
    floor (0.328113555908203 × 131072)
    floor (43006.5)     		ty = 43006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54956 / 43006 ti = "17/54956/43006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54956/43006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54956 ÷ 217
    54956 ÷ 131072     		x = 0.419281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43006 ÷ 217
    43006 ÷ 131072     		y = 0.328109741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.16143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50717240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328109741210938 × 2 - 1) × π
    0.343780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08001834843987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50717240} λ = -0.50717240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08001834843987))-π/2
    2×atan(2.94473358183688)-π/2
    2×1.24342601358005-π/2
    2.48685202716009-1.57079632675     		φ = 0.91605570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50717240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.058838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91605570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.486125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54956 KachelY 43006 -0.50717240 0.91605570 -29.058838 52.486125
    Oben rechts KachelX + 1 54957 KachelY 43006 -0.50712446 0.91605570 -29.056091 52.486125
    Unten links KachelX 54956 KachelY + 1 43007 -0.50717240 0.91602651 -29.058838 52.484453
    Unten rechts KachelX + 1 54957 KachelY + 1 43007 -0.50712446 0.91602651 -29.056091 52.484453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91605570-0.91602651) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91605570-0.91602651) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50717240--0.50712446) × cos(0.91605570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608953527458379 × 6371000     		do = 185.990081749464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50717240--0.50712446) × cos(0.91602651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608976680879195 × 6371000     		du = 185.99715340015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91605570)-sin(0.91602651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608953527458379-0.608976680879195)×R²
    abs(-0.50712446--0.50717240)×2.31534208158246e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31534208158246e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31534208158246e-05×40589641000000     		ar = 34589.1382060829m²