Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54955 / 43005
↖ ↑ ↗
← N 52.487798°
W 29.061584°		 ← 185.94 m → N 52.487798°
W 29.058838°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
N 52.486125°
W 29.061584°		 ← 185.95 m →
34 581 m²		 N 52.486125°
W 29.058838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419277191162109 y=0.328105926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419277191162109 × 217)
    floor (0.419277191162109 × 131072)
    floor (54955.5)     		tx = 54955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328105926513672 × 217)
    floor (0.328105926513672 × 131072)
    floor (43005.5)     		ty = 43005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54955 / 43005 ti = "17/54955/43005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54955/43005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54955 ÷ 217
    54955 ÷ 131072     		x = 0.419273376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43005 ÷ 217
    43005 ÷ 131072     		y = 0.328102111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419273376464844 × 2 - 1) × π
    -0.161453247070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50722033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328102111816406 × 2 - 1) × π
    0.343795776367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.08006628533949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50722033} λ = -0.50722033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08006628533949))-π/2
    2×atan(2.94487474661847)-π/2
    2×1.24344060897461-π/2
    2.48688121794922-1.57079632675     		φ = 0.91608489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50722033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.061584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91608489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.487798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54955 KachelY 43005 -0.50722033 0.91608489 -29.061584 52.487798
    Oben rechts KachelX + 1 54956 KachelY 43005 -0.50717240 0.91608489 -29.058838 52.487798
    Unten links KachelX 54955 KachelY + 1 43006 -0.50722033 0.91605570 -29.061584 52.486125
    Unten rechts KachelX + 1 54956 KachelY + 1 43006 -0.50717240 0.91605570 -29.058838 52.486125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91608489-0.91605570) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91608489-0.91605570) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50722033--0.50717240) × cos(0.91608489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.608930373518701 × 6371000     		do = 185.944214986443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50722033--0.50717240) × cos(0.91605570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.608953527458379 × 6371000     		du = 185.951285320465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91608489)-sin(0.91605570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608930373518701-0.608953527458379)×R²
    abs(-0.50717240--0.50722033)×2.31539396784441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31539396784441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31539396784441e-05×40589641000000     		ar = 34580.608265125m²