Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54955 / 42583
↖ ↑ ↗
← N 53.187933°
W 29.061584°		 ← 182.97 m → N 53.187933°
W 29.058838°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 53.186288°
W 29.061584°		 ← 182.98 m →
33 480 m²		 N 53.186288°
W 29.058838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419277191162109 y=0.324886322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419277191162109 × 217)
    floor (0.419277191162109 × 131072)
    floor (54955.5)     		tx = 54955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324886322021484 × 217)
    floor (0.324886322021484 × 131072)
    floor (42583.5)     		ty = 42583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54955 / 42583 ti = "17/54955/42583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54955/42583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54955 ÷ 217
    54955 ÷ 131072     		x = 0.419273376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42583 ÷ 217
    42583 ÷ 131072     		y = 0.324882507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419273376464844 × 2 - 1) × π
    -0.161453247070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50722033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324882507324219 × 2 - 1) × π
    0.350234985351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.10029565697915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50722033} λ = -0.50722033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10029565697915))-π/2
    2×atan(3.00505435791253)-π/2
    2×1.24955044291098-π/2
    2.49910088582196-1.57079632675     		φ = 0.92830456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50722033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.061584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92830456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.187933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54955 KachelY 42583 -0.50722033 0.92830456 -29.061584 53.187933
    Oben rechts KachelX + 1 54956 KachelY 42583 -0.50717240 0.92830456 -29.058838 53.187933
    Unten links KachelX 54955 KachelY + 1 42584 -0.50722033 0.92827584 -29.061584 53.186288
    Unten rechts KachelX + 1 54956 KachelY + 1 42584 -0.50717240 0.92827584 -29.058838 53.186288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92830456-0.92827584) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92830456-0.92827584) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50722033--0.50717240) × cos(0.92830456) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59919222090704 × 6371000     		do = 182.970552936494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50722033--0.50717240) × cos(0.92827584) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599215214041193 × 6371000     		du = 182.977574166615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92830456)-sin(0.92827584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59919222090704-0.599215214041193)×R²
    abs(-0.50717240--0.50722033)×2.29931341531042e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29931341531042e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29931341531042e-05×40589641000000     		ar = 33479.701237617m²