Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54952 / 18280
↖ ↑ ↗
← N 78.148039°
W 29.069824°		 ← 62.73 m → N 78.148039°
W 29.067078°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.147475°
W 29.069824°		 ← 62.73 m →
3 937 m²		 N 78.147475°
W 29.067078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419254302978516 y=0.139469146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419254302978516 × 217)
    floor (0.419254302978516 × 131072)
    floor (54952.5)     		tx = 54952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139469146728516 × 217)
    floor (0.139469146728516 × 131072)
    floor (18280.5)     		ty = 18280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54952 / 18280 ti = "17/54952/18280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54952/18280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54952 ÷ 217
    54952 ÷ 131072     		x = 0.41925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18280 ÷ 217
    18280 ÷ 131072     		y = 0.13946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50736415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13946533203125 × 2 - 1) × π
    0.7210693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26530612844537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50736415} λ = -0.50736415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26530612844537))-π/2
    2×atan(9.63407341364629)-π/2
    2×1.46736845812486-π/2
    2.93473691624971-1.57079632675     		φ = 1.36394059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50736415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.069824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36394059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.148039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54952 KachelY 18280 -0.50736415 1.36394059 -29.069824 78.148039
    Oben rechts KachelX + 1 54953 KachelY 18280 -0.50731621 1.36394059 -29.067078 78.148039
    Unten links KachelX 54952 KachelY + 1 18281 -0.50736415 1.36393074 -29.069824 78.147475
    Unten rechts KachelX + 1 54953 KachelY + 1 18281 -0.50731621 1.36393074 -29.067078 78.147475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36394059-1.36393074) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dl = 62.7543499991521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36394059-1.36393074) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dr = 62.7543499991521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50736415--0.50731621) × cos(1.36394059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205383687837359 × 6371000     		do = 62.7294648416132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50736415--0.50731621) × cos(1.36393074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205393327840484 × 6371000     		du = 62.7324091467012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36394059)-sin(1.36393074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205383687837359-0.205393327840484)×R²
    abs(-0.50731621--0.50736415)×9.64000312494995e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.64000312494995e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.64000312494995e-06×40589641000000     		ar = 3936.63917592038m²