Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54951 / 17438
↖ ↑ ↗
← N 78.613750°
W 29.072571°		 ← 60.29 m → N 78.613750°
W 29.069824°		 →
↑
60.27 m
↓
↑
60.27 m
↓
N 78.613208°
W 29.072571°		 ← 60.29 m →
3 633 m²		 N 78.613208°
W 29.069824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419246673583984 y=0.133045196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419246673583984 × 217)
    floor (0.419246673583984 × 131072)
    floor (54951.5)     		tx = 54951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133045196533203 × 217)
    floor (0.133045196533203 × 131072)
    floor (17438.5)     		ty = 17438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54951 / 17438 ti = "17/54951/17438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54951/17438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54951 ÷ 217
    54951 ÷ 131072     		x = 0.419242858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17438 ÷ 217
    17438 ÷ 131072     		y = 0.133041381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419242858886719 × 2 - 1) × π
    -0.161514282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50741208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133041381835938 × 2 - 1) × π
    0.733917236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30566899792546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50741208} λ = -0.50741208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30566899792546))-π/2
    2×atan(10.0308866505823)-π/2
    2×1.47143255037915-π/2
    2.94286510075831-1.57079632675     		φ = 1.37206877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50741208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.072571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37206877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.613750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54951 KachelY 17438 -0.50741208 1.37206877 -29.072571 78.613750
    Oben rechts KachelX + 1 54952 KachelY 17438 -0.50736415 1.37206877 -29.069824 78.613750
    Unten links KachelX 54951 KachelY + 1 17439 -0.50741208 1.37205931 -29.072571 78.613208
    Unten rechts KachelX + 1 54952 KachelY + 1 17439 -0.50736415 1.37205931 -29.069824 78.613208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37206877-1.37205931) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dl = 60.2696600001062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37206877-1.37205931) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dr = 60.2696600001062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50741208--0.50736415) × cos(1.37206877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197422091240167 × 6371000     		do = 60.2852105479794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50741208--0.50736415) × cos(1.37205931) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197431365045098 × 6371000     		du = 60.2880424158789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37206877)-sin(1.37205931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197422091240167-0.197431365045098)×R²
    abs(-0.50736415--0.50741208)×9.27380493093155e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.27380493093155e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.27380493093155e-06×40589641000000     		ar = 3633.45448072456m²