Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54951 / 14487
↖ ↑ ↗
← N 80.107717°
W 29.072571°		 ← 52.46 m → N 80.107717°
W 29.069824°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.107246°
W 29.072571°		 ← 52.46 m →
2 751 m²		 N 80.107246°
W 29.069824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419246673583984 y=0.110530853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419246673583984 × 217)
    floor (0.419246673583984 × 131072)
    floor (54951.5)     		tx = 54951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110530853271484 × 217)
    floor (0.110530853271484 × 131072)
    floor (14487.5)     		ty = 14487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54951 / 14487 ti = "17/54951/14487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54951/14487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54951 ÷ 217
    54951 ÷ 131072     		x = 0.419242858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14487 ÷ 217
    14487 ÷ 131072     		y = 0.110527038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419242858886719 × 2 - 1) × π
    -0.161514282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50741208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110527038574219 × 2 - 1) × π
    0.778945922851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.44713078870425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50741208} λ = -0.50741208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44713078870425))-π/2
    2×atan(11.5551449581289)-π/2
    2×1.48446987367819-π/2
    2.96893974735637-1.57079632675     		φ = 1.39814342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50741208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.072571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39814342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.107717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54951 KachelY 14487 -0.50741208 1.39814342 -29.072571 80.107717
    Oben rechts KachelX + 1 54952 KachelY 14487 -0.50736415 1.39814342 -29.069824 80.107717
    Unten links KachelX 54951 KachelY + 1 14488 -0.50741208 1.39813519 -29.072571 80.107246
    Unten rechts KachelX + 1 54952 KachelY + 1 14488 -0.50736415 1.39813519 -29.069824 80.107246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39814342-1.39813519) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dl = 52.4333299996334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39814342-1.39813519) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dr = 52.4333299996334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50741208--0.50736415) × cos(1.39814342) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171796415180012 × 6371000     		do = 52.4601020861235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50741208--0.50736415) × cos(1.39813519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171804522814457 × 6371000     		du = 52.4625778498359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39814342)-sin(1.39813519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171796415180012-0.171804522814457)×R²
    abs(-0.50736415--0.50741208)×8.10763444442086e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.10763444442086e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.10763444442086e-06×40589641000000     		ar = 2750.72275089536m²