Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54949 / 42585
↖ ↑ ↗
← N 53.184642°
W 29.078064°		 ← 183.02 m → N 53.184642°
W 29.075317°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 53.182996°
W 29.078064°		 ← 183.03 m →
33 501 m²		 N 53.182996°
W 29.075317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419231414794922 y=0.324901580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419231414794922 × 217)
    floor (0.419231414794922 × 131072)
    floor (54949.5)     		tx = 54949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324901580810547 × 217)
    floor (0.324901580810547 × 131072)
    floor (42585.5)     		ty = 42585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54949 / 42585 ti = "17/54949/42585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54949/42585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54949 ÷ 217
    54949 ÷ 131072     		x = 0.419227600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42585 ÷ 217
    42585 ÷ 131072     		y = 0.324897766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419227600097656 × 2 - 1) × π
    -0.161544799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50750796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324897766113281 × 2 - 1) × π
    0.350204467773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.10019978317991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50750796} λ = -0.50750796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10019978317991))-π/2
    2×atan(3.00476626574478)-π/2
    2×1.24952171839122-π/2
    2.49904343678244-1.57079632675     		φ = 0.92824711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50750796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.078064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92824711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.184642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54949 KachelY 42585 -0.50750796 0.92824711 -29.078064 53.184642
    Oben rechts KachelX + 1 54950 KachelY 42585 -0.50746002 0.92824711 -29.075317 53.184642
    Unten links KachelX 54949 KachelY + 1 42586 -0.50750796 0.92821838 -29.078064 53.182996
    Unten rechts KachelX + 1 54950 KachelY + 1 42586 -0.50746002 0.92821838 -29.075317 53.182996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92824711-0.92821838) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dl = 183.038830000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92824711-0.92821838) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dr = 183.038830000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50750796--0.50746002) × cos(0.92824711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599238214686798 × 6371000     		do = 183.022775156874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50750796--0.50746002) × cos(0.92821838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599261214837785 × 6371000     		du = 183.029799995009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92824711)-sin(0.92821838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599238214686798-0.599261214837785)×R²
    abs(-0.50746002--0.50750796)×2.30001509862188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30001509862188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30001509862188e-05×40589641000000     		ar = 33500.9175394399m²