Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54949 / 17510
↖ ↑ ↗
← N 78.574643°
W 29.078064°		 ← 60.50 m → N 78.574643°
W 29.075317°		 →
↑
60.52 m
↓
↑
60.52 m
↓
N 78.574099°
W 29.078064°		 ← 60.50 m →
3 662 m²		 N 78.574099°
W 29.075317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419231414794922 y=0.133594512939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419231414794922 × 217)
    floor (0.419231414794922 × 131072)
    floor (54949.5)     		tx = 54949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133594512939453 × 217)
    floor (0.133594512939453 × 131072)
    floor (17510.5)     		ty = 17510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54949 / 17510 ti = "17/54949/17510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54949/17510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54949 ÷ 217
    54949 ÷ 131072     		x = 0.419227600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17510 ÷ 217
    17510 ÷ 131072     		y = 0.133590698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419227600097656 × 2 - 1) × π
    -0.161544799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50750796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133590698242188 × 2 - 1) × π
    0.732818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30221754115282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50750796} λ = -0.50750796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30221754115282))-π/2
    2×atan(9.99632515697674)-π/2
    2×1.47109127647616-π/2
    2.94218255295233-1.57079632675     		φ = 1.37138623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50750796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.078064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37138623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.574643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54949 KachelY 17510 -0.50750796 1.37138623 -29.078064 78.574643
    Oben rechts KachelX + 1 54950 KachelY 17510 -0.50746002 1.37138623 -29.075317 78.574643
    Unten links KachelX 54949 KachelY + 1 17511 -0.50750796 1.37137673 -29.078064 78.574099
    Unten rechts KachelX + 1 54950 KachelY + 1 17511 -0.50746002 1.37137673 -29.075317 78.574099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37138623-1.37137673) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dl = 60.5244999999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37138623-1.37137673) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dr = 60.5244999999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50750796--0.50746002) × cos(1.37138623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198091151846058 × 6371000     		do = 60.5021366399949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50750796--0.50746002) × cos(1.37137673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198100463581347 × 6371000     		du = 60.5049806836364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37138623)-sin(1.37137673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198091151846058-0.198100463581347)×R²
    abs(-0.50746002--0.50750796)×9.31173528936902e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.31173528936902e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.31173528936902e-06×40589641000000     		ar = 3661.94763638721m²