Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54948 / 17509
↖ ↑ ↗
← N 78.575187°
W 29.080810°		 ← 60.49 m → N 78.575187°
W 29.078064°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.574643°
W 29.080810°		 ← 60.49 m →
3 657 m²		 N 78.574643°
W 29.078064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419223785400391 y=0.133586883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419223785400391 × 217)
    floor (0.419223785400391 × 131072)
    floor (54948.5)     		tx = 54948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133586883544922 × 217)
    floor (0.133586883544922 × 131072)
    floor (17509.5)     		ty = 17509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54948 / 17509 ti = "17/54948/17509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54948/17509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54948 ÷ 217
    54948 ÷ 131072     		x = 0.419219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17509 ÷ 217
    17509 ÷ 131072     		y = 0.133583068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.16156005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50755589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133583068847656 × 2 - 1) × π
    0.732833862304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.30226547805244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50755589} λ = -0.50755589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30226547805244))-π/2
    2×atan(9.99680436129806)-π/2
    2×1.47109602430254-π/2
    2.94219204860508-1.57079632675     		φ = 1.37139572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50755589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.080810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37139572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.575187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54948 KachelY 17509 -0.50755589 1.37139572 -29.080810 78.575187
    Oben rechts KachelX + 1 54949 KachelY 17509 -0.50750796 1.37139572 -29.078064 78.575187
    Unten links KachelX 54948 KachelY + 1 17510 -0.50755589 1.37138623 -29.080810 78.574643
    Unten rechts KachelX + 1 54949 KachelY + 1 17510 -0.50750796 1.37138623 -29.078064 78.574643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37139572-1.37138623) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dl = 60.4607900003593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37139572-1.37138623) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dr = 60.4607900003593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50755589--0.50750796) × cos(1.37139572) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198081849894746 × 6371000     		do = 60.4866757900518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50755589--0.50750796) × cos(1.37138623) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198091151846058 × 6371000     		du = 60.4895162527875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37139572)-sin(1.37138623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198081849894746-0.198091151846058)×R²
    abs(-0.50750796--0.50755589)×9.30195131229605e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.30195131229605e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.30195131229605e-06×40589641000000     		ar = 3657.1580710932m²