Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54947 / 42965
↖ ↑ ↗
← N 52.554646°
W 29.083557°		 ← 185.70 m → N 52.554646°
W 29.080810°		 →
↑
185.65 m
↓
↑
185.65 m
↓
N 52.552976°
W 29.083557°		 ← 185.71 m →
34 476 m²		 N 52.552976°
W 29.080810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419216156005859 y=0.327800750732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419216156005859 × 217)
    floor (0.419216156005859 × 131072)
    floor (54947.5)     		tx = 54947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327800750732422 × 217)
    floor (0.327800750732422 × 131072)
    floor (42965.5)     		ty = 42965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54947 / 42965 ti = "17/54947/42965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54947/42965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54947 ÷ 217
    54947 ÷ 131072     		x = 0.419212341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42965 ÷ 217
    42965 ÷ 131072     		y = 0.327796936035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419212341308594 × 2 - 1) × π
    -0.161575317382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.50760383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327796936035156 × 2 - 1) × π
    0.344406127929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.08198376132429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50760383} λ = -0.50760383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08198376132429))-π/2
    2×atan(2.95052689041658)-π/2
    2×1.24402396977039-π/2
    2.48804793954078-1.57079632675     		φ = 0.91725161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50760383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.083557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91725161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.554646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54947 KachelY 42965 -0.50760383 0.91725161 -29.083557 52.554646
    Oben rechts KachelX + 1 54948 KachelY 42965 -0.50755589 0.91725161 -29.080810 52.554646
    Unten links KachelX 54947 KachelY + 1 42966 -0.50760383 0.91722247 -29.083557 52.552976
    Unten rechts KachelX + 1 54948 KachelY + 1 42966 -0.50755589 0.91722247 -29.080810 52.552976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91725161-0.91722247) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dl = 185.650939999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91725161-0.91722247) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dr = 185.650939999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50760383--0.50755589) × cos(0.91725161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608004489352582 × 6371000     		do = 185.700221083713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50760383--0.50755589) × cos(0.91722247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60802762431917 × 6371000     		du = 185.707287098003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91725161)-sin(0.91722247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608004489352582-0.60802762431917)×R²
    abs(-0.50755589--0.50760383)×2.31349665881231e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31349665881231e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31349665881231e-05×40589641000000     		ar = 34476.0765109945m²