Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54946 / 18030
↖ ↑ ↗
← N 78.288241°
W 29.086304°		 ← 62 m → N 78.288241°
W 29.083557°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.287683°
W 29.086304°		 ← 62 m →
3 843 m²		 N 78.287683°
W 29.083557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419208526611328 y=0.137561798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419208526611328 × 217)
    floor (0.419208526611328 × 131072)
    floor (54946.5)     		tx = 54946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137561798095703 × 217)
    floor (0.137561798095703 × 131072)
    floor (18030.5)     		ty = 18030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54946 / 18030 ti = "17/54946/18030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54946/18030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54946 ÷ 217
    54946 ÷ 131072     		x = 0.419204711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18030 ÷ 217
    18030 ÷ 131072     		y = 0.137557983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419204711914062 × 2 - 1) × π
    -0.161590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50765177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137557983398438 × 2 - 1) × π
    0.724884033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27729035335039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50765177} λ = -0.50765177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27729035335039))-π/2
    2×atan(9.7502249189154)-π/2
    2×1.46859195001523-π/2
    2.93718390003045-1.57079632675     		φ = 1.36638757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50765177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.086304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36638757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.288241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54946 KachelY 18030 -0.50765177 1.36638757 -29.086304 78.288241
    Oben rechts KachelX + 1 54947 KachelY 18030 -0.50760383 1.36638757 -29.083557 78.288241
    Unten links KachelX 54946 KachelY + 1 18031 -0.50765177 1.36637784 -29.086304 78.287683
    Unten rechts KachelX + 1 54947 KachelY + 1 18031 -0.50760383 1.36637784 -29.083557 78.287683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36638757-1.36637784) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dl = 61.9898300009691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36638757-1.36637784) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dr = 61.9898300009691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50765177--0.50760383) × cos(1.36638757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202988261203689 × 6371000     		do = 61.9978398894094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50765177--0.50760383) × cos(1.36637784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202997788626875 × 6371000     		du = 62.0007498096862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36638757)-sin(1.36637784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202988261203689-0.202997788626875)×R²
    abs(-0.50760383--0.50765177)×9.52742318593991e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.52742318593991e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.52742318593991e-06×40589641000000     		ar = 3843.32574801463m²