Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54946 / 17479
↖ ↑ ↗
← N 78.591497°
W 29.086304°		 ← 60.41 m → N 78.591497°
W 29.083557°		 →
↑
60.40 m
↓
↑
60.40 m
↓
N 78.590953°
W 29.086304°		 ← 60.42 m →
3 649 m²		 N 78.590953°
W 29.083557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419208526611328 y=0.133358001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419208526611328 × 217)
    floor (0.419208526611328 × 131072)
    floor (54946.5)     		tx = 54946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133358001708984 × 217)
    floor (0.133358001708984 × 131072)
    floor (17479.5)     		ty = 17479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54946 / 17479 ti = "17/54946/17479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54946/17479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54946 ÷ 217
    54946 ÷ 131072     		x = 0.419204711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17479 ÷ 217
    17479 ÷ 131072     		y = 0.133354187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419204711914062 × 2 - 1) × π
    -0.161590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50765177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133354187011719 × 2 - 1) × π
    0.733291625976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.30370358504104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50765177} λ = -0.50765177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30370358504104))-π/2
    2×atan(10.011191177925)-π/2
    2×1.47123835540631-π/2
    2.94247671081262-1.57079632675     		φ = 1.37168038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50765177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.086304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37168038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.591497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54946 KachelY 17479 -0.50765177 1.37168038 -29.086304 78.591497
    Oben rechts KachelX + 1 54947 KachelY 17479 -0.50760383 1.37168038 -29.083557 78.591497
    Unten links KachelX 54946 KachelY + 1 17480 -0.50765177 1.37167090 -29.086304 78.590953
    Unten rechts KachelX + 1 54947 KachelY + 1 17480 -0.50760383 1.37167090 -29.083557 78.590953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37168038-1.37167090) × R
    9.47999999989513e-06 × 6371000     		dl = 60.3970799993319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37168038-1.37167090) × R
    9.47999999989513e-06 × 6371000     		dr = 60.3970799993319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50765177--0.50760383) × cos(1.37168038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197802822273556 × 6371000     		do = 60.4140733669498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50765177--0.50760383) × cos(1.37167090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197812114957208 × 6371000     		du = 60.4169115917306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37168038)-sin(1.37167090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197802822273556-0.197812114957208)×R²
    abs(-0.50760383--0.50765177)×9.29268365121305e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.29268365121305e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.29268365121305e-06×40589641000000     		ar = 3648.91933244466m²