Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54946 / 17437
↖ ↑ ↗
← N 78.614292°
W 29.086304°		 ← 60.29 m → N 78.614292°
W 29.083557°		 →
↑
60.33 m
↓
↑
60.33 m
↓
N 78.613750°
W 29.086304°		 ← 60.30 m →
3 638 m²		 N 78.613750°
W 29.083557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419208526611328 y=0.133037567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419208526611328 × 217)
    floor (0.419208526611328 × 131072)
    floor (54946.5)     		tx = 54946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133037567138672 × 217)
    floor (0.133037567138672 × 131072)
    floor (17437.5)     		ty = 17437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54946 / 17437 ti = "17/54946/17437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54946/17437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54946 ÷ 217
    54946 ÷ 131072     		x = 0.419204711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17437 ÷ 217
    17437 ÷ 131072     		y = 0.133033752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419204711914062 × 2 - 1) × π
    -0.161590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50765177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133033752441406 × 2 - 1) × π
    0.733932495117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.30571693482508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50765177} λ = -0.50765177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30571693482508))-π/2
    2×atan(10.0313675117142)-π/2
    2×1.47143728216936-π/2
    2.94287456433872-1.57079632675     		φ = 1.37207824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50765177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.086304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37207824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.614292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54946 KachelY 17437 -0.50765177 1.37207824 -29.086304 78.614292
    Oben rechts KachelX + 1 54947 KachelY 17437 -0.50760383 1.37207824 -29.083557 78.614292
    Unten links KachelX 54946 KachelY + 1 17438 -0.50765177 1.37206877 -29.086304 78.613750
    Unten rechts KachelX + 1 54947 KachelY + 1 17438 -0.50760383 1.37206877 -29.083557 78.613750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37207824-1.37206877) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dl = 60.3333699997191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37207824-1.37206877) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dr = 60.3333699997191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50765177--0.50760383) × cos(1.37207824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197412807614364 × 6371000     		do = 60.2949528510551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50765177--0.50760383) × cos(1.37206877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197422091240167 × 6371000     		du = 60.2977883093359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37207824)-sin(1.37206877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197412807614364-0.197422091240167)×R²
    abs(-0.50760383--0.50765177)×9.28362580296382e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.28362580296382e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.28362580296382e-06×40589641000000     		ar = 3637.88323570708m²