Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54945 / 42591
↖ ↑ ↗
← N 53.174766°
W 29.089050°		 ← 183.03 m → N 53.174766°
W 29.086304°		 →
↑
183.10 m
↓
↑
183.10 m
↓
N 53.173119°
W 29.089050°		 ← 183.03 m →
33 513 m²		 N 53.173119°
W 29.086304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419200897216797 y=0.324947357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419200897216797 × 217)
    floor (0.419200897216797 × 131072)
    floor (54945.5)     		tx = 54945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324947357177734 × 217)
    floor (0.324947357177734 × 131072)
    floor (42591.5)     		ty = 42591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54945 / 42591 ti = "17/54945/42591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54945/42591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54945 ÷ 217
    54945 ÷ 131072     		x = 0.419197082519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42591 ÷ 217
    42591 ÷ 131072     		y = 0.324943542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419197082519531 × 2 - 1) × π
    -0.161605834960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.50769970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324943542480469 × 2 - 1) × π
    0.350112915039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.09991216178219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50769970} λ = -0.50769970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09991216178219))-π/2
    2×atan(3.00390215494594)-π/2
    2×1.24943553160285-π/2
    2.49887106320569-1.57079632675     		φ = 0.92807474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50769970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.089050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92807474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.174766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54945 KachelY 42591 -0.50769970 0.92807474 -29.089050 53.174766
    Oben rechts KachelX + 1 54946 KachelY 42591 -0.50765177 0.92807474 -29.086304 53.174766
    Unten links KachelX 54945 KachelY + 1 42592 -0.50769970 0.92804600 -29.089050 53.173119
    Unten rechts KachelX + 1 54946 KachelY + 1 42592 -0.50765177 0.92804600 -29.086304 53.173119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92807474-0.92804600) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dl = 183.102539999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92807474-0.92804600) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dr = 183.102539999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50769970--0.50765177) × cos(0.92807474) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599376200168093 × 6371000     		do = 183.026733217127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50769970--0.50765177) × cos(0.92804600) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599399205355641 × 6371000     		du = 183.033758127897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92807474)-sin(0.92804600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599376200168093-0.599399205355641)×R²
    abs(-0.50765177--0.50769970)×2.30051875484971e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30051875484971e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30051875484971e-05×40589641000000     		ar = 33513.302881662m²