Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54943 / 42592
↖ ↑ ↗
← N 53.173119°
W 29.094544°		 ← 183.07 m → N 53.173119°
W 29.091797°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 53.171473°
W 29.094544°		 ← 183.08 m →
33 510 m²		 N 53.171473°
W 29.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419185638427734 y=0.324954986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419185638427734 × 217)
    floor (0.419185638427734 × 131072)
    floor (54943.5)     		tx = 54943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324954986572266 × 217)
    floor (0.324954986572266 × 131072)
    floor (42592.5)     		ty = 42592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54943 / 42592 ti = "17/54943/42592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54943/42592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54943 ÷ 217
    54943 ÷ 131072     		x = 0.419181823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42592 ÷ 217
    42592 ÷ 131072     		y = 0.324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419181823730469 × 2 - 1) × π
    -0.161636352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50779558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324951171875 × 2 - 1) × π
    0.35009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09986422488257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50779558} λ = -0.50779558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09986422488257))-π/2
    2×atan(3.00375816064122)-π/2
    2×1.24942116520878-π/2
    2.49884233041755-1.57079632675     		φ = 0.92804600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50779558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.094544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92804600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.173119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54943 KachelY 42592 -0.50779558 0.92804600 -29.094544 53.173119
    Oben rechts KachelX + 1 54944 KachelY 42592 -0.50774764 0.92804600 -29.091797 53.173119
    Unten links KachelX 54943 KachelY + 1 42593 -0.50779558 0.92801727 -29.094544 53.171473
    Unten rechts KachelX + 1 54944 KachelY + 1 42593 -0.50774764 0.92801727 -29.091797 53.171473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92804600-0.92801727) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dl = 183.038830000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92804600-0.92801727) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dr = 183.038830000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50779558--0.50774764) × cos(0.92804600) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.599399205355641 × 6371000     		do = 183.071945851463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50779558--0.50774764) × cos(0.92801727) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.599422202043763 × 6371000     		du = 183.07896963195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92804600)-sin(0.92801727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599399205355641-0.599422202043763)×R²
    abs(-0.50774764--0.50779558)×2.29966881221122e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.29966881221122e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.29966881221122e-05×40589641000000     		ar = 33509.9175891329m²