Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54943 / 12963
↖ ↑ ↗
← N 80.801537°
W 29.094544°		 ← 48.82 m → N 80.801537°
W 29.091797°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.801097°
W 29.094544°		 ← 48.83 m →
2 386 m²		 N 80.801097°
W 29.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419185638427734 y=0.0989036560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419185638427734 × 217)
    floor (0.419185638427734 × 131072)
    floor (54943.5)     		tx = 54943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0989036560058594 × 217)
    floor (0.0989036560058594 × 131072)
    floor (12963.5)     		ty = 12963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54943 / 12963 ti = "17/54943/12963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54943/12963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54943 ÷ 217
    54943 ÷ 131072     		x = 0.419181823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12963 ÷ 217
    12963 ÷ 131072     		y = 0.0988998413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419181823730469 × 2 - 1) × π
    -0.161636352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50779558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988998413085938 × 2 - 1) × π
    0.802200317382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.52018662372521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50779558} λ = -0.50779558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52018662372521))-π/2
    2×atan(12.4309163510337)-π/2
    2×1.49052459154148-π/2
    2.98104918308296-1.57079632675     		φ = 1.41025286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50779558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.094544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41025286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.801537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54943 KachelY 12963 -0.50779558 1.41025286 -29.094544 80.801537
    Oben rechts KachelX + 1 54944 KachelY 12963 -0.50774764 1.41025286 -29.091797 80.801537
    Unten links KachelX 54943 KachelY + 1 12964 -0.50779558 1.41024519 -29.094544 80.801097
    Unten rechts KachelX + 1 54944 KachelY + 1 12964 -0.50774764 1.41024519 -29.091797 80.801097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41025286-1.41024519) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41025286-1.41024519) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50779558--0.50774764) × cos(1.41025286) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.15985470830756 × 6371000     		do = 48.8237425774016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50779558--0.50774764) × cos(1.41024519) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.159862279670902 × 6371000     		du = 48.8260550666534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41025286)-sin(1.41024519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15985470830756-0.159862279670902)×R²
    abs(-0.50774764--0.50779558)×7.57136334272879e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.57136334272879e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.57136334272879e-06×40589641000000     		ar = 2385.85651117916m²