Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54943 / 12063
↖ ↑ ↗
← N 81.188386°
W 29.094544°		 ← 46.79 m → N 81.188386°
W 29.091797°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
N 81.187965°
W 29.094544°		 ← 46.79 m →
2 188 m²		 N 81.187965°
W 29.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419185638427734 y=0.0920372009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419185638427734 × 217)
    floor (0.419185638427734 × 131072)
    floor (54943.5)     		tx = 54943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0920372009277344 × 217)
    floor (0.0920372009277344 × 131072)
    floor (12063.5)     		ty = 12063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54943 / 12063 ti = "17/54943/12063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54943/12063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54943 ÷ 217
    54943 ÷ 131072     		x = 0.419181823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12063 ÷ 217
    12063 ÷ 131072     		y = 0.0920333862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419181823730469 × 2 - 1) × π
    -0.161636352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50779558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0920333862304688 × 2 - 1) × π
    0.815933227539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.56332983338326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50779558} λ = -0.50779558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56332983338326))-π/2
    2×atan(12.9789632263612)-π/2
    2×1.49390049040864-π/2
    2.98780098081729-1.57079632675     		φ = 1.41700465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50779558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.094544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41700465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.188386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54943 KachelY 12063 -0.50779558 1.41700465 -29.094544 81.188386
    Oben rechts KachelX + 1 54944 KachelY 12063 -0.50774764 1.41700465 -29.091797 81.188386
    Unten links KachelX 54943 KachelY + 1 12064 -0.50779558 1.41699731 -29.094544 81.187965
    Unten rechts KachelX + 1 54944 KachelY + 1 12064 -0.50774764 1.41699731 -29.091797 81.187965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41700465-1.41699731) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41700465-1.41699731) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50779558--0.50774764) × cos(1.41700465) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.153186149621179 × 6371000     		do = 46.7869931058769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50779558--0.50774764) × cos(1.41699731) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.153193402985605 × 6371000     		du = 46.7892084700743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41700465)-sin(1.41699731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153186149621179-0.153193402985605)×R²
    abs(-0.50774764--0.50779558)×7.2533644262518e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.2533644262518e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.2533644262518e-06×40589641000000     		ar = 2187.95850749922m²