Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54942 / 18039
↖ ↑ ↗
← N 78.283222°
W 29.097290°		 ← 62.01 m → N 78.283222°
W 29.094544°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.282664°
W 29.097290°		 ← 62.01 m →
3 848 m²		 N 78.282664°
W 29.094544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419178009033203 y=0.137630462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419178009033203 × 217)
    floor (0.419178009033203 × 131072)
    floor (54942.5)     		tx = 54942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137630462646484 × 217)
    floor (0.137630462646484 × 131072)
    floor (18039.5)     		ty = 18039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54942 / 18039 ti = "17/54942/18039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54942/18039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54942 ÷ 217
    54942 ÷ 131072     		x = 0.419174194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18039 ÷ 217
    18039 ÷ 131072     		y = 0.137626647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419174194335938 × 2 - 1) × π
    -0.161651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50784351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137626647949219 × 2 - 1) × π
    0.724746704101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.27685892125381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50784351} λ = -0.50784351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27685892125381))-π/2
    2×atan(9.74601926622852)-π/2
    2×1.46854815294002-π/2
    2.93709630588004-1.57079632675     		φ = 1.36629998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50784351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.097290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36629998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.283222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54942 KachelY 18039 -0.50784351 1.36629998 -29.097290 78.283222
    Oben rechts KachelX + 1 54943 KachelY 18039 -0.50779558 1.36629998 -29.094544 78.283222
    Unten links KachelX 54942 KachelY + 1 18040 -0.50784351 1.36629024 -29.097290 78.282664
    Unten rechts KachelX + 1 54943 KachelY + 1 18040 -0.50779558 1.36629024 -29.094544 78.282664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36629998-1.36629024) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dl = 62.0535399991673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36629998-1.36629024) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dr = 62.0535399991673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50784351--0.50779558) × cos(1.36629998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203074026903691 × 6371000     		do = 62.0110970956238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50784351--0.50779558) × cos(1.36629024) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203083563945454 × 6371000     		du = 62.0140093460565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36629998)-sin(1.36629024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203074026903691-0.203083563945454)×R²
    abs(-0.50779558--0.50784351)×9.53704176229198e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.53704176229198e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.53704176229198e-06×40589641000000     		ar = 3848.09845166829m²