Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54942 / 16593
↖ ↑ ↗
← N 79.062957°
W 29.097290°		 ← 57.94 m → N 79.062957°
W 29.094544°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.062436°
W 29.097290°		 ← 57.94 m →
3 355 m²		 N 79.062436°
W 29.094544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419178009033203 y=0.126598358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419178009033203 × 217)
    floor (0.419178009033203 × 131072)
    floor (54942.5)     		tx = 54942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126598358154297 × 217)
    floor (0.126598358154297 × 131072)
    floor (16593.5)     		ty = 16593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54942 / 16593 ti = "17/54942/16593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54942/16593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54942 ÷ 217
    54942 ÷ 131072     		x = 0.419174194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16593 ÷ 217
    16593 ÷ 131072     		y = 0.126594543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419174194335938 × 2 - 1) × π
    -0.161651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50784351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126594543457031 × 2 - 1) × π
    0.746810913085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.34617567810441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50784351} λ = -0.50784351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34617567810441))-π/2
    2×atan(10.4455461112125)-π/2
    2×1.47535261870669-π/2
    2.95070523741338-1.57079632675     		φ = 1.37990891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50784351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.097290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37990891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.062957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54942 KachelY 16593 -0.50784351 1.37990891 -29.097290 79.062957
    Oben rechts KachelX + 1 54943 KachelY 16593 -0.50779558 1.37990891 -29.094544 79.062957
    Unten links KachelX 54942 KachelY + 1 16594 -0.50784351 1.37989982 -29.097290 79.062436
    Unten rechts KachelX + 1 54943 KachelY + 1 16594 -0.50779558 1.37989982 -29.094544 79.062436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37990891-1.37989982) × R
    9.08999999982285e-06 × 6371000     		dl = 57.9123899988714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37990891-1.37989982) × R
    9.08999999982285e-06 × 6371000     		dr = 57.9123899988714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50784351--0.50779558) × cos(1.37990891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189730267549031 × 6371000     		do = 57.9364196512506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50784351--0.50779558) × cos(1.37989982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189739192432722 × 6371000     		du = 57.939144971852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37990891)-sin(1.37989982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189730267549031-0.189739192432722)×R²
    abs(-0.50779558--0.50784351)×8.92488369108602e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.92488369108602e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.92488369108602e-06×40589641000000     		ar = 3355.31544500006m²