Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54941 / 42870
↖ ↑ ↗
← N 52.713004°
W 29.100037°		 ← 185.03 m → N 52.713004°
W 29.097290°		 →
↑
185.08 m
↓
↑
185.08 m
↓
N 52.711339°
W 29.100037°		 ← 185.04 m →
34 245 m²		 N 52.711339°
W 29.097290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419170379638672 y=0.327075958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419170379638672 × 217)
    floor (0.419170379638672 × 131072)
    floor (54941.5)     		tx = 54941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327075958251953 × 217)
    floor (0.327075958251953 × 131072)
    floor (42870.5)     		ty = 42870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54941 / 42870 ti = "17/54941/42870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54941/42870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54941 ÷ 217
    54941 ÷ 131072     		x = 0.419166564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42870 ÷ 217
    42870 ÷ 131072     		y = 0.327072143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419166564941406 × 2 - 1) × π
    -0.161666870117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50789145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327072143554688 × 2 - 1) × π
    0.345855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08653776678819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50789145} λ = -0.50789145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08653776678819))-π/2
    2×atan(2.96399424793188)-π/2
    2×1.24540589614789-π/2
    2.49081179229577-1.57079632675     		φ = 0.92001547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50789145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.100037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92001547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.713004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54941 KachelY 42870 -0.50789145 0.92001547 -29.100037 52.713004
    Oben rechts KachelX + 1 54942 KachelY 42870 -0.50784351 0.92001547 -29.097290 52.713004
    Unten links KachelX 54941 KachelY + 1 42871 -0.50789145 0.91998642 -29.100037 52.711339
    Unten rechts KachelX + 1 54942 KachelY + 1 42871 -0.50784351 0.91998642 -29.097290 52.711339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92001547-0.91998642) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dl = 185.07754999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92001547-0.91998642) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dr = 185.07754999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50789145--0.50784351) × cos(0.92001547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605807848613909 × 6371000     		do = 185.02931046059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50789145--0.50784351) × cos(0.91998642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605830960857601 × 6371000     		du = 185.036369534722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92001547)-sin(0.91998642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605807848613909-0.605830960857601)×R²
    abs(-0.50784351--0.50789145)×2.31122436923359e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31122436923359e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31122436923359e-05×40589641000000     		ar = 34245.4246986836m²