Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54940 / 42589
↖ ↑ ↗
← N 53.178058°
W 29.102783°		 ← 183.05 m → N 53.178058°
W 29.100037°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 53.176412°
W 29.102783°		 ← 183.06 m →
33 506 m²		 N 53.176412°
W 29.100037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419162750244141 y=0.324932098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419162750244141 × 217)
    floor (0.419162750244141 × 131072)
    floor (54940.5)     		tx = 54940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324932098388672 × 217)
    floor (0.324932098388672 × 131072)
    floor (42589.5)     		ty = 42589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54940 / 42589 ti = "17/54940/42589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54940/42589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54940 ÷ 217
    54940 ÷ 131072     		x = 0.419158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42589 ÷ 217
    42589 ÷ 131072     		y = 0.324928283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.16168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50793939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324928283691406 × 2 - 1) × π
    0.350143432617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.10000803558143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50793939} λ = -0.50793939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10000803558143))-π/2
    2×atan(3.00419016426413)-π/2
    2×1.24946426273723-π/2
    2.49892852547445-1.57079632675     		φ = 0.92813220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50793939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.102783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92813220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.178058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54940 KachelY 42589 -0.50793939 0.92813220 -29.102783 53.178058
    Oben rechts KachelX + 1 54941 KachelY 42589 -0.50789145 0.92813220 -29.100037 53.178058
    Unten links KachelX 54940 KachelY + 1 42590 -0.50793939 0.92810347 -29.102783 53.176412
    Unten rechts KachelX + 1 54941 KachelY + 1 42590 -0.50789145 0.92810347 -29.100037 53.176412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92813220-0.92810347) × R
    2.87299999999213e-05 × 6371000     		dl = 183.038829999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92813220-0.92810347) × R
    2.87299999999213e-05 × 6371000     		dr = 183.038829999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50793939--0.50789145) × cos(0.92813220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599330204317821 × 6371000     		do = 183.050871158002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50793939--0.50789145) × cos(0.92810347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599353202490314 × 6371000     		du = 183.057895391854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92813220)-sin(0.92810347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599330204317821-0.599353202490314)×R²
    abs(-0.50789145--0.50793939)×2.29981724927386e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29981724927386e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29981724927386e-05×40589641000000     		ar = 33506.0601431943m²