Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54940 / 17444
↖ ↑ ↗
← N 78.610496°
W 29.102783°		 ← 60.31 m → N 78.610496°
W 29.100037°		 →
↑
60.27 m
↓
↑
60.27 m
↓
N 78.609954°
W 29.102783°		 ← 60.32 m →
3 635 m²		 N 78.609954°
W 29.100037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419162750244141 y=0.133090972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419162750244141 × 217)
    floor (0.419162750244141 × 131072)
    floor (54940.5)     		tx = 54940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133090972900391 × 217)
    floor (0.133090972900391 × 131072)
    floor (17444.5)     		ty = 17444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54940 / 17444 ti = "17/54940/17444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54940/17444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54940 ÷ 217
    54940 ÷ 131072     		x = 0.419158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17444 ÷ 217
    17444 ÷ 131072     		y = 0.133087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.16168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50793939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133087158203125 × 2 - 1) × π
    0.73382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30538137652774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50793939} λ = -0.50793939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30538137652774))-π/2
    2×atan(10.0280019678116)-π/2
    2×1.47140415496781-π/2
    2.94280830993562-1.57079632675     		φ = 1.37201198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50793939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.102783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37201198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.610496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54940 KachelY 17444 -0.50793939 1.37201198 -29.102783 78.610496
    Oben rechts KachelX + 1 54941 KachelY 17444 -0.50789145 1.37201198 -29.100037 78.610496
    Unten links KachelX 54940 KachelY + 1 17445 -0.50793939 1.37200252 -29.102783 78.609954
    Unten rechts KachelX + 1 54941 KachelY + 1 17445 -0.50789145 1.37200252 -29.100037 78.609954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37201198-1.37200252) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dl = 60.2696600001062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37201198-1.37200252) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dr = 60.2696600001062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50793939--0.50789145) × cos(1.37201198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19747776321393 × 6371000     		do = 60.3147919631198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50793939--0.50789145) × cos(1.37200252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197487036912782 × 6371000     		du = 60.3176243894541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37201198)-sin(1.37200252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19747776321393-0.197487036912782)×R²
    abs(-0.50789145--0.50793939)×9.27369885173057e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.27369885173057e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.27369885173057e-06×40589641000000     		ar = 3635.23735919915m²