Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54940 / 16595
↖ ↑ ↗
← N 79.061914°
W 29.102783°		 ← 57.95 m → N 79.061914°
W 29.100037°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.061393°
W 29.102783°		 ← 57.96 m →
3 360 m²		 N 79.061393°
W 29.100037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419162750244141 y=0.126613616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419162750244141 × 217)
    floor (0.419162750244141 × 131072)
    floor (54940.5)     		tx = 54940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126613616943359 × 217)
    floor (0.126613616943359 × 131072)
    floor (16595.5)     		ty = 16595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54940 / 16595 ti = "17/54940/16595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54940/16595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54940 ÷ 217
    54940 ÷ 131072     		x = 0.419158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16595 ÷ 217
    16595 ÷ 131072     		y = 0.126609802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.16168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50793939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126609802246094 × 2 - 1) × π
    0.746780395507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.34607980430517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50793939} λ = -0.50793939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34607980430517))-π/2
    2×atan(10.4445447050268)-π/2
    2×1.47534352319785-π/2
    2.95068704639569-1.57079632675     		φ = 1.37989072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50793939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.102783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37989072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.061914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54940 KachelY 16595 -0.50793939 1.37989072 -29.102783 79.061914
    Oben rechts KachelX + 1 54941 KachelY 16595 -0.50789145 1.37989072 -29.100037 79.061914
    Unten links KachelX 54940 KachelY + 1 16596 -0.50793939 1.37988162 -29.102783 79.061393
    Unten rechts KachelX + 1 54941 KachelY + 1 16596 -0.50789145 1.37988162 -29.100037 79.061393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37989072-1.37988162) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dl = 57.9760999998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37989072-1.37988162) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dr = 57.9760999998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50793939--0.50789145) × cos(1.37989072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189748127119063 × 6371000     		do = 57.953962138916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50793939--0.50789145) × cos(1.37988162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189757061789692 × 6371000     		du = 57.9566910173043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37989072)-sin(1.37988162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189748127119063-0.189757061789692)×R²
    abs(-0.50789145--0.50793939)×8.9346706284299e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.9346706284299e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.9346706284299e-06×40589641000000     		ar = 3360.0238092409m²