Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54939 / 17457
↖ ↑ ↗
← N 78.603443°
W 29.105530°		 ← 60.35 m → N 78.603443°
W 29.102783°		 →
↑
60.33 m
↓
↑
60.33 m
↓
N 78.602900°
W 29.105530°		 ← 60.35 m →
3 641 m²		 N 78.602900°
W 29.102783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419155120849609 y=0.133190155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419155120849609 × 217)
    floor (0.419155120849609 × 131072)
    floor (54939.5)     		tx = 54939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133190155029297 × 217)
    floor (0.133190155029297 × 131072)
    floor (17457.5)     		ty = 17457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54939 / 17457 ti = "17/54939/17457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54939/17457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54939 ÷ 217
    54939 ÷ 131072     		x = 0.419151306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17457 ÷ 217
    17457 ÷ 131072     		y = 0.133186340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419151306152344 × 2 - 1) × π
    -0.161697387695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50798733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133186340332031 × 2 - 1) × π
    0.733627319335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.30475819683268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50798733} λ = -0.50798733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30475819683268))-π/2
    2×atan(10.0217546674008)-π/2
    2×1.47134260410376-π/2
    2.94268520820752-1.57079632675     		φ = 1.37188888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50798733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.105530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37188888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.603443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54939 KachelY 17457 -0.50798733 1.37188888 -29.105530 78.603443
    Oben rechts KachelX + 1 54940 KachelY 17457 -0.50793939 1.37188888 -29.102783 78.603443
    Unten links KachelX 54939 KachelY + 1 17458 -0.50798733 1.37187941 -29.105530 78.602900
    Unten rechts KachelX + 1 54940 KachelY + 1 17458 -0.50793939 1.37187941 -29.102783 78.602900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37188888-1.37187941) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dl = 60.3333699997191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37188888-1.37187941) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dr = 60.3333699997191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50798733--0.50793939) × cos(1.37188888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197598437554205 × 6371000     		do = 60.3516490127972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50798733--0.50793939) × cos(1.37187941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197607720825824 × 6371000     		du = 60.3544843629013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37188888)-sin(1.37187941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197598437554205-0.197607720825824)×R²
    abs(-0.50793939--0.50798733)×9.28327161983655e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.28327161983655e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.28327161983655e-06×40589641000000     		ar = 3641.3039030884m²