Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54938 / 17458
↖ ↑ ↗
← N 78.602900°
W 29.108276°		 ← 60.34 m → N 78.602900°
W 29.105530°		 →
↑
60.33 m
↓
↑
60.33 m
↓
N 78.602358°
W 29.108276°		 ← 60.34 m →
3 641 m²		 N 78.602358°
W 29.105530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419147491455078 y=0.133197784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419147491455078 × 217)
    floor (0.419147491455078 × 131072)
    floor (54938.5)     		tx = 54938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133197784423828 × 217)
    floor (0.133197784423828 × 131072)
    floor (17458.5)     		ty = 17458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54938 / 17458 ti = "17/54938/17458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54938/17458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54938 ÷ 217
    54938 ÷ 131072     		x = 0.419143676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17458 ÷ 217
    17458 ÷ 131072     		y = 0.133193969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419143676757812 × 2 - 1) × π
    -0.161712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50803526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133193969726562 × 2 - 1) × π
    0.733612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30471025993306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50803526} λ = -0.50803526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30471025993306))-π/2
    2×atan(10.0212742670678)-π/2
    2×1.47133786786428-π/2
    2.94267573572856-1.57079632675     		φ = 1.37187941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50803526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.108276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37187941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.602900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54938 KachelY 17458 -0.50803526 1.37187941 -29.108276 78.602900
    Oben rechts KachelX + 1 54939 KachelY 17458 -0.50798733 1.37187941 -29.105530 78.602900
    Unten links KachelX 54938 KachelY + 1 17459 -0.50803526 1.37186994 -29.108276 78.602358
    Unten rechts KachelX + 1 54939 KachelY + 1 17459 -0.50798733 1.37186994 -29.105530 78.602358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37187941-1.37186994) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dl = 60.3333699997191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37187941-1.37186994) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dr = 60.3333699997191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50803526--0.50798733) × cos(1.37187941) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197607720825824 × 6371000     		do = 60.341894775084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50803526--0.50798733) × cos(1.37186994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197617004079723 × 6371000     		du = 60.3447295283393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37187941)-sin(1.37186994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197607720825824-0.197617004079723)×R²
    abs(-0.50798733--0.50803526)×9.28325389817908e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.28325389817908e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.28325389817908e-06×40589641000000     		ar = 3640.71537896633m²