Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54938 / 16594
↖ ↑ ↗
← N 79.062436°
W 29.108276°		 ← 57.94 m → N 79.062436°
W 29.105530°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.061914°
W 29.108276°		 ← 57.94 m →
3 359 m²		 N 79.061914°
W 29.105530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419147491455078 y=0.126605987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419147491455078 × 217)
    floor (0.419147491455078 × 131072)
    floor (54938.5)     		tx = 54938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126605987548828 × 217)
    floor (0.126605987548828 × 131072)
    floor (16594.5)     		ty = 16594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54938 / 16594 ti = "17/54938/16594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54938/16594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54938 ÷ 217
    54938 ÷ 131072     		x = 0.419143676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16594 ÷ 217
    16594 ÷ 131072     		y = 0.126602172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419143676757812 × 2 - 1) × π
    -0.161712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50803526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126602172851562 × 2 - 1) × π
    0.746795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34612774120479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50803526} λ = -0.50803526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34612774120479))-π/2
    2×atan(10.4450453961186)-π/2
    2×1.47534807105929-π/2
    2.95069614211858-1.57079632675     		φ = 1.37989982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50803526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.108276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37989982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.062436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54938 KachelY 16594 -0.50803526 1.37989982 -29.108276 79.062436
    Oben rechts KachelX + 1 54939 KachelY 16594 -0.50798733 1.37989982 -29.105530 79.062436
    Unten links KachelX 54938 KachelY + 1 16595 -0.50803526 1.37989072 -29.108276 79.061914
    Unten rechts KachelX + 1 54939 KachelY + 1 16595 -0.50798733 1.37989072 -29.105530 79.061914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37989982-1.37989072) × R
    9.10000000020617e-06 × 6371000     		dl = 57.9761000013135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37989982-1.37989072) × R
    9.10000000020617e-06 × 6371000     		dr = 57.9761000013135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50803526--0.50798733) × cos(1.37989982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189739192432722 × 6371000     		do = 57.939144971852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50803526--0.50798733) × cos(1.37989072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189748127119063 × 6371000     		du = 57.9418732858107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37989982)-sin(1.37989072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189739192432722-0.189748127119063)×R²
    abs(-0.50798733--0.50803526)×8.93468634169392e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.93468634169392e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.93468634169392e-06×40589641000000     		ar = 3359.16475142937m²