Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54937 / 16666
↖ ↑ ↗
← N 79.024850°
W 29.111023°		 ← 58.15 m → N 79.024850°
W 29.108276°		 →
↑
58.17 m
↓
↑
58.17 m
↓
N 79.024327°
W 29.111023°		 ← 58.15 m →
3 382 m²		 N 79.024327°
W 29.108276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419139862060547 y=0.127155303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419139862060547 × 217)
    floor (0.419139862060547 × 131072)
    floor (54937.5)     		tx = 54937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127155303955078 × 217)
    floor (0.127155303955078 × 131072)
    floor (16666.5)     		ty = 16666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54937 / 16666 ti = "17/54937/16666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54937/16666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54937 ÷ 217
    54937 ÷ 131072     		x = 0.419136047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16666 ÷ 217
    16666 ÷ 131072     		y = 0.127151489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419136047363281 × 2 - 1) × π
    -0.161727905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.50808320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127151489257812 × 2 - 1) × π
    0.745697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34267628443214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50808320} λ = -0.50808320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34267628443214))-π/2
    2×atan(10.4090569155143)-π/2
    2×1.47502007733242-π/2
    2.95004015466484-1.57079632675     		φ = 1.37924383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50808320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.111023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37924383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.024850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54937 KachelY 16666 -0.50808320 1.37924383 -29.111023 79.024850
    Oben rechts KachelX + 1 54938 KachelY 16666 -0.50803526 1.37924383 -29.108276 79.024850
    Unten links KachelX 54937 KachelY + 1 16667 -0.50808320 1.37923470 -29.111023 79.024327
    Unten rechts KachelX + 1 54938 KachelY + 1 16667 -0.50803526 1.37923470 -29.108276 79.024327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37924383-1.37923470) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dl = 58.1672300001519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37924383-1.37923470) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dr = 58.1672300001519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50808320--0.50803526) × cos(1.37924383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190383225193488 × 6371000     		do = 58.1479374382695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50808320--0.50803526) × cos(1.37923470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190392188196474 × 6371000     		du = 58.1506749700891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37924383)-sin(1.37923470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190383225193488-0.190392188196474)×R²
    abs(-0.50803526--0.50808320)×8.96300298613983e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.96300298613983e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.96300298613983e-06×40589641000000     		ar = 3382.38406854035m²