Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54936 / 42594
↖ ↑ ↗
← N 53.169826°
W 29.113770°		 ← 183.09 m → N 53.169826°
W 29.111023°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 53.168180°
W 29.113770°		 ← 183.09 m →
33 512 m²		 N 53.168180°
W 29.111023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419132232666016 y=0.324970245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419132232666016 × 217)
    floor (0.419132232666016 × 131072)
    floor (54936.5)     		tx = 54936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324970245361328 × 217)
    floor (0.324970245361328 × 131072)
    floor (42594.5)     		ty = 42594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54936 / 42594 ti = "17/54936/42594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54936/42594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54936 ÷ 217
    54936 ÷ 131072     		x = 0.41912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42594 ÷ 217
    42594 ÷ 131072     		y = 0.324966430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.1617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50813114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324966430664062 × 2 - 1) × π
    0.350067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09976835108333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50813114} λ = -0.50813114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09976835108333))-π/2
    2×atan(3.00347019273887)-π/2
    2×1.24939243076683-π/2
    2.49878486153367-1.57079632675     		φ = 0.92798853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50813114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.113770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92798853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.169826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54936 KachelY 42594 -0.50813114 0.92798853 -29.113770 53.169826
    Oben rechts KachelX + 1 54937 KachelY 42594 -0.50808320 0.92798853 -29.111023 53.169826
    Unten links KachelX 54936 KachelY + 1 42595 -0.50813114 0.92795980 -29.113770 53.168180
    Unten rechts KachelX + 1 54937 KachelY + 1 42595 -0.50808320 0.92795980 -29.111023 53.168180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92798853-0.92795980) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dl = 183.038830000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92798853-0.92795980) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dr = 183.038830000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50813114--0.50808320) × cos(0.92798853) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.599445206241272 × 6371000     		do = 183.085995705997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50813114--0.50808320) × cos(0.92795980) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.599468201939662 × 6371000     		du = 183.093019184195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92798853)-sin(0.92795980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599445206241272-0.599468201939662)×R²
    abs(-0.50808320--0.50813114)×2.2995698389261e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.2995698389261e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.2995698389261e-05×40589641000000     		ar = 33512.4892302926m²