Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54936 / 17447
↖ ↑ ↗
← N 78.608869°
W 29.113770°		 ← 60.32 m → N 78.608869°
W 29.111023°		 →
↑
60.33 m
↓
↑
60.33 m
↓
N 78.608326°
W 29.113770°		 ← 60.33 m →
3 640 m²		 N 78.608326°
W 29.111023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419132232666016 y=0.133113861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419132232666016 × 217)
    floor (0.419132232666016 × 131072)
    floor (54936.5)     		tx = 54936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133113861083984 × 217)
    floor (0.133113861083984 × 131072)
    floor (17447.5)     		ty = 17447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54936 / 17447 ti = "17/54936/17447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54936/17447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54936 ÷ 217
    54936 ÷ 131072     		x = 0.41912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17447 ÷ 217
    17447 ÷ 131072     		y = 0.133110046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.1617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50813114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133110046386719 × 2 - 1) × π
    0.733779907226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.30523756582888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50813114} λ = -0.50813114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30523756582888))-π/2
    2×atan(10.0265599375326)-π/2
    2×1.47138995425949-π/2
    2.94277990851898-1.57079632675     		φ = 1.37198358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50813114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.113770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37198358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.608869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54936 KachelY 17447 -0.50813114 1.37198358 -29.113770 78.608869
    Oben rechts KachelX + 1 54937 KachelY 17447 -0.50808320 1.37198358 -29.111023 78.608869
    Unten links KachelX 54936 KachelY + 1 17448 -0.50813114 1.37197411 -29.113770 78.608326
    Unten rechts KachelX + 1 54937 KachelY + 1 17448 -0.50808320 1.37197411 -29.111023 78.608326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37198358-1.37197411) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dl = 60.3333699997191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37198358-1.37197411) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dr = 60.3333699997191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50813114--0.50808320) × cos(1.37198358) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.197505603863499 × 6371000     		do = 60.3232952142562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50813114--0.50808320) × cos(1.37197411) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.197514887312289 × 6371000     		du = 60.3261306184728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37198358)-sin(1.37197411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197505603863499-0.197514887312289)×R²
    abs(-0.50808320--0.50813114)×9.28344879042031e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.28344879042031e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.28344879042031e-06×40589641000000     		ar = 3639.59322450681m²