Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54935 / 43224
↖ ↑ ↗
← N 52.119999°
W 29.116516°		 ← 187.50 m → N 52.119999°
W 29.113770°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
N 52.118312°
W 29.116516°		 ← 187.50 m →
35 156 m²		 N 52.118312°
W 29.113770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419124603271484 y=0.329776763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419124603271484 × 217)
    floor (0.419124603271484 × 131072)
    floor (54935.5)     		tx = 54935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329776763916016 × 217)
    floor (0.329776763916016 × 131072)
    floor (43224.5)     		ty = 43224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54935 / 43224 ti = "17/54935/43224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54935/43224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54935 ÷ 217
    54935 ÷ 131072     		x = 0.419120788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43224 ÷ 217
    43224 ÷ 131072     		y = 0.32977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419120788574219 × 2 - 1) × π
    -0.161758422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50817907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32977294921875 × 2 - 1) × π
    0.3404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06956810432269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50817907} λ = -0.50817907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06956810432269))-π/2
    2×atan(2.91412063204262)-π/2
    2×1.24023095474347-π/2
    2.48046190948694-1.57079632675     		φ = 0.90966558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50817907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.116516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90966558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.119999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54935 KachelY 43224 -0.50817907 0.90966558 -29.116516 52.119999
    Oben rechts KachelX + 1 54936 KachelY 43224 -0.50813114 0.90966558 -29.113770 52.119999
    Unten links KachelX 54935 KachelY + 1 43225 -0.50817907 0.90963615 -29.116516 52.118312
    Unten rechts KachelX + 1 54936 KachelY + 1 43225 -0.50813114 0.90963615 -29.113770 52.118312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90966558-0.90963615) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dl = 187.498529999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90966558-0.90963615) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dr = 187.498529999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50817907--0.50813114) × cos(0.90966558) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.614009741004857 × 6371000     		do = 187.495260952698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50817907--0.50813114) × cos(0.90963615) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.614032969792235 × 6371000     		du = 187.502354142366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90966558)-sin(0.90963615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614009741004857-0.614032969792235)×R²
    abs(-0.50813114--0.50817907)×2.32287873781489e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.32287873781489e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.32287873781489e-05×40589641000000     		ar = 35155.7507942429m²