Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54935 / 43027
↖ ↑ ↗
← N 52.450988°
W 29.116516°		 ← 186.10 m → N 52.450988°
W 29.113770°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
N 52.449314°
W 29.116516°		 ← 186.11 m →
34 645 m²		 N 52.449314°
W 29.113770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419124603271484 y=0.328273773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419124603271484 × 217)
    floor (0.419124603271484 × 131072)
    floor (54935.5)     		tx = 54935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328273773193359 × 217)
    floor (0.328273773193359 × 131072)
    floor (43027.5)     		ty = 43027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54935 / 43027 ti = "17/54935/43027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54935/43027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54935 ÷ 217
    54935 ÷ 131072     		x = 0.419120788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43027 ÷ 217
    43027 ÷ 131072     		y = 0.328269958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419120788574219 × 2 - 1) × π
    -0.161758422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50817907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328269958496094 × 2 - 1) × π
    0.343460083007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.07901167354784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50817907} λ = -0.50817907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07901167354784))-π/2
    2×atan(2.94177068406396)-π/2
    2×1.24311938207974-π/2
    2.48623876415949-1.57079632675     		φ = 0.91544244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50817907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.116516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91544244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.450988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54935 KachelY 43027 -0.50817907 0.91544244 -29.116516 52.450988
    Oben rechts KachelX + 1 54936 KachelY 43027 -0.50813114 0.91544244 -29.113770 52.450988
    Unten links KachelX 54935 KachelY + 1 43028 -0.50817907 0.91541322 -29.116516 52.449314
    Unten rechts KachelX + 1 54936 KachelY + 1 43028 -0.50813114 0.91541322 -29.113770 52.449314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91544244-0.91541322) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dl = 186.160619999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91544244-0.91541322) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dr = 186.160619999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50817907--0.50813114) × cos(0.91544244) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.609439854368741 × 6371000     		do = 186.099791092626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50817907--0.50813114) × cos(0.91541322) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.609463020668518 × 6371000     		du = 186.106865200953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91544244)-sin(0.91541322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609439854368741-0.609463020668518)×R²
    abs(-0.50813114--0.50817907)×2.31662997772775e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31662997772775e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31662997772775e-05×40589641000000     		ar = 34645.1109542068m²