Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54935 / 17454
↖ ↑ ↗
← N 78.605071°
W 29.116516°		 ← 60.33 m → N 78.605071°
W 29.113770°		 →
↑
60.33 m
↓
↑
60.33 m
↓
N 78.604529°
W 29.116516°		 ← 60.33 m →
3 640 m²		 N 78.604529°
W 29.113770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419124603271484 y=0.133167266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419124603271484 × 217)
    floor (0.419124603271484 × 131072)
    floor (54935.5)     		tx = 54935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133167266845703 × 217)
    floor (0.133167266845703 × 131072)
    floor (17454.5)     		ty = 17454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54935 / 17454 ti = "17/54935/17454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54935/17454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54935 ÷ 217
    54935 ÷ 131072     		x = 0.419120788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17454 ÷ 217
    17454 ÷ 131072     		y = 0.133163452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419120788574219 × 2 - 1) × π
    -0.161758422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50817907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133163452148438 × 2 - 1) × π
    0.733673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30490200753154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50817907} λ = -0.50817907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30490200753154))-π/2
    2×atan(10.0231960065808)-π/2
    2×1.47135681148689-π/2
    2.94271362297378-1.57079632675     		φ = 1.37191730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50817907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.116516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37191730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.605071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54935 KachelY 17454 -0.50817907 1.37191730 -29.116516 78.605071
    Oben rechts KachelX + 1 54936 KachelY 17454 -0.50813114 1.37191730 -29.113770 78.605071
    Unten links KachelX 54935 KachelY + 1 17455 -0.50817907 1.37190783 -29.116516 78.604529
    Unten rechts KachelX + 1 54936 KachelY + 1 17455 -0.50813114 1.37190783 -29.113770 78.604529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37191730-1.37190783) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dl = 60.3333699997191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37191730-1.37190783) × R
    9.4699999999559e-06 × 6371000     		dr = 60.3333699997191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50817907--0.50813114) × cos(1.37191730) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.197570577830137 × 6371000     		do = 60.3305527143808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50817907--0.50813114) × cos(1.37190783) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.197579861154935 × 6371000     		du = 60.3333874892864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37191730)-sin(1.37190783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197570577830137-0.197579861154935)×R²
    abs(-0.50813114--0.50817907)×9.28332479843696e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.28332479843696e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.28332479843696e-06×40589641000000     		ar = 3640.03107504608m²