Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54934 / 42871
↖ ↑ ↗
← N 52.711339°
W 29.119263°		 ← 185.04 m → N 52.711339°
W 29.116516°		 →
↑
185.01 m
↓
↑
185.01 m
↓
N 52.709675°
W 29.119263°		 ← 185.04 m →
34 235 m²		 N 52.709675°
W 29.116516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419116973876953 y=0.327083587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419116973876953 × 217)
    floor (0.419116973876953 × 131072)
    floor (54934.5)     		tx = 54934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327083587646484 × 217)
    floor (0.327083587646484 × 131072)
    floor (42871.5)     		ty = 42871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54934 / 42871 ti = "17/54934/42871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54934/42871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54934 ÷ 217
    54934 ÷ 131072     		x = 0.419113159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42871 ÷ 217
    42871 ÷ 131072     		y = 0.327079772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419113159179688 × 2 - 1) × π
    -0.161773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50822701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327079772949219 × 2 - 1) × π
    0.345840454101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.08648982988857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50822701} λ = -0.50822701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08648982988857))-π/2
    2×atan(2.96385216664264)-π/2
    2×1.24539137559589-π/2
    2.49078275119178-1.57079632675     		φ = 0.91998642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50822701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.119263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91998642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.711339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54934 KachelY 42871 -0.50822701 0.91998642 -29.119263 52.711339
    Oben rechts KachelX + 1 54935 KachelY 42871 -0.50817907 0.91998642 -29.116516 52.711339
    Unten links KachelX 54934 KachelY + 1 42872 -0.50822701 0.91995738 -29.119263 52.709675
    Unten rechts KachelX + 1 54935 KachelY + 1 42872 -0.50817907 0.91995738 -29.116516 52.709675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91998642-0.91995738) × R
    2.90399999999247e-05 × 6371000     		dl = 185.01383999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91998642-0.91995738) × R
    2.90399999999247e-05 × 6371000     		dr = 185.01383999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50822701--0.50817907) × cos(0.91998642) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.605830960857601 × 6371000     		do = 185.036369535151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50822701--0.50817907) × cos(0.91995738) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.605854064634273 × 6371000     		du = 185.043426023238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91998642)-sin(0.91995738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605830960857601-0.605854064634273)×R²
    abs(-0.50817907--0.50822701)×2.31037766721398e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31037766721398e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31037766721398e-05×40589641000000     		ar = 34234.9420437678m²