Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54933 / 42830
↖ ↑ ↗
← N 52.779508°
W 29.122009°		 ← 184.75 m → N 52.779508°
W 29.119263°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 52.777847°
W 29.122009°		 ← 184.75 m →
34 134 m²		 N 52.777847°
W 29.119263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419109344482422 y=0.326770782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419109344482422 × 217)
    floor (0.419109344482422 × 131072)
    floor (54933.5)     		tx = 54933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326770782470703 × 217)
    floor (0.326770782470703 × 131072)
    floor (42830.5)     		ty = 42830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54933 / 42830 ti = "17/54933/42830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54933/42830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54933 ÷ 217
    54933 ÷ 131072     		x = 0.419105529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42830 ÷ 217
    42830 ÷ 131072     		y = 0.326766967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419105529785156 × 2 - 1) × π
    -0.161788940429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50827495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326766967773438 × 2 - 1) × π
    0.346466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08845524277299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50827495} λ = -0.50827495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08845524277299))-π/2
    2×atan(2.96968308808555)-π/2
    2×1.24598626421425-π/2
    2.49197252842851-1.57079632675     		φ = 0.92117620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50827495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.122009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92117620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.779508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54933 KachelY 42830 -0.50827495 0.92117620 -29.122009 52.779508
    Oben rechts KachelX + 1 54934 KachelY 42830 -0.50822701 0.92117620 -29.119263 52.779508
    Unten links KachelX 54933 KachelY + 1 42831 -0.50827495 0.92114720 -29.122009 52.777847
    Unten rechts KachelX + 1 54934 KachelY + 1 42831 -0.50822701 0.92114720 -29.119263 52.777847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92117620-0.92114720) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dl = 184.758999999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92117620-0.92114720) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dr = 184.758999999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50827495--0.50822701) × cos(0.92117620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604883951173923 × 6371000     		do = 184.747128401298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50827495--0.50822701) × cos(0.92114720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604907044014987 × 6371000     		du = 184.754181549369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92117620)-sin(0.92114720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604883951173923-0.604907044014987)×R²
    abs(-0.50822701--0.50827495)×2.3092841063943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3092841063943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3092841063943e-05×40589641000000     		ar = 34134.3462650202m²