Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54932 / 43212
↖ ↑ ↗
← N 52.140231°
W 29.124756°		 ← 187.41 m → N 52.140231°
W 29.122009°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
N 52.138546°
W 29.124756°		 ← 187.42 m →
35 128 m²		 N 52.138546°
W 29.122009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419101715087891 y=0.329685211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419101715087891 × 217)
    floor (0.419101715087891 × 131072)
    floor (54932.5)     		tx = 54932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329685211181641 × 217)
    floor (0.329685211181641 × 131072)
    floor (43212.5)     		ty = 43212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54932 / 43212 ti = "17/54932/43212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54932/43212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54932 ÷ 217
    54932 ÷ 131072     		x = 0.419097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43212 ÷ 217
    43212 ÷ 131072     		y = 0.329681396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329681396484375 × 2 - 1) × π
    0.34063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07014334711813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50832288} λ = -0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07014334711813))-π/2
    2×atan(2.9157974411812)-π/2
    2×1.24040751699307-π/2
    2.48081503398614-1.57079632675     		φ = 0.91001871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91001871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.140231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54932 KachelY 43212 -0.50832288 0.91001871 -29.124756 52.140231
    Oben rechts KachelX + 1 54933 KachelY 43212 -0.50827495 0.91001871 -29.122009 52.140231
    Unten links KachelX 54932 KachelY + 1 43213 -0.50832288 0.90998929 -29.124756 52.138546
    Unten rechts KachelX + 1 54933 KachelY + 1 43213 -0.50827495 0.90998929 -29.122009 52.138546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91001871-0.90998929) × R
    2.94200000000577e-05 × 6371000     		dl = 187.434820000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91001871-0.90998929) × R
    2.94200000000577e-05 × 6371000     		dr = 187.434820000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50832288--0.50827495) × cos(0.91001871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613730977766418 × 6371000     		do = 187.410137244753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50832288--0.50827495) × cos(0.90998929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613754205038664 × 6371000     		du = 187.417229971757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91001871)-sin(0.90998929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613730977766418-0.613754205038664)×R²
    abs(-0.50827495--0.50832288)×2.32272722463511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32272722463511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32272722463511e-05×40589641000000     		ar = 35127.8500551081m²